Lineare Algebra Lösungsmenge beweis?

Ist Lös(A, ~b) ∩ Lös(B, b) != ∅ , dann ist Lös(A + B, b) != ∅

bin so weit gekommen:

es existiert ein x aus R^n mit Ax=b und Bx=b, (A+B)x=Ax+Bx

kann wer helfen?

Answer 1

[FataMorgana2010]

(A+B)x = Ax + Bx = b + b = 2b

Sei nun

$x'\ =\ \frac{1}{2}x$ x' liegt ebenfalls in R^n.

Einsetzen und Linearität beachten:

(A+B)x' = Ax' + Bx' = A(1/2 x $(A+B)x'=Ax'+Bx'=A\left(\frac{1}{2}x\right)+B\left(\frac{1}{2}x\right)=\frac{1}{2}\left(Ax\right)+\frac{1}{2}\left(Bx\right)\ =\ \frac{1}{2}b+\frac{1}{2}b=b$ Also liegt x' in der Lösungsmenge von (A+B, b), die damit nicht leer ist.