Kurze Frage zu den Wendepunkten der folgenden Aufgabe (Kurvendiskussion)?
Hallo liebe Community,
für das nachstehende Bild wollte ich die Wendepunkte berechnen. Da ich mir den Graph auch mal zeichnen lassen habe, ist für mich nur im Ursprung (0/0) ein Wendepunkt. Nachdem ich aber die 2. Ableitung = 0 gesetzt habe und x ausgeklammert habe, habe ich nicht nur 0 rausbekommen, sondern ~ +/- 3,46. Aber wo soll hier beim Graph ein Wendepunkt bei 3,46 und -3,46 sein?
Die Ableitung dürfte nicht falsch sein, denn ich habs nochmal mit einem Ableitungsrechner überprüft.
Wäre schön, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte :-) Danke!!
Und hier der Graph:
6 Antworten
Das passt doch!
Ich habe dir die entsprechenden Abschnitte mal farbig markiert und die Wendepunkte eingezeichnet.
Von kleinen zu großen x-Werten verlaufend, als würde man den Graphen mit einem Wagen entlangfahren:
- Zunächst beginnt man mit einer leichten Rechtskurve.
- Bei x ≈ -3,46 wechselt man in eine Linkskurve.
- Bei x = 0 wechselt man in eine Rechtskurve.
- Bei x ≈ 3,46 wechselt man in eine leichte Linkskurve.
Vieeelen Dank mihisu, dass du die Funktion extra gezeichnet hast. Ich bin davon ausgegangen, dass ich ganz links, wo der Graph blau ist, einfach gerade aus fahre, und erst bei -2 oder so nach links lenke.
Aber ich bin ja ein Depp, wenn ich bei -Unendlich bin, dann lenk ich ja gaaanz leicht nach rechts, damit ich ja nach "unten" komme und bei -Wurzel 12 lenk ich dann erst nach links ein. Jetzt ist es mir klar, vielen Dank!! :-)
Na, ist doch alles perfekt. Stell' dir das "Ding" als Straße vor und "fahre" in Richtung entlang der x-Achse: das beginnt mit einer gaaaaanz leichten Rechtskurve, etwa bei x = -3,krümel geht das über in eine Linkskurve, dann bei x = 0 wieder in eine Rechtskurve und etwa bei x = 3,krümel endet das Teil wieder in einer gaaaanz leichten Linkskurve. Gibt 3 Stellen, wo der Lenker von der einen Seite auf die andere muss - auch wenn das nicht "viel" ist.
Ah, okay, das mit dem Vorstellen hilft mir sehr weiter, vielen vielen Dank! :-)
Ich sage immer:
" Die Quotientenregel ( QR ) ist ABSOLUT TÖDLICH .
Ihr müsst sie MEIDEN WIE DIE PEST . "
Aktion Bremer Stadtmusikanten
" Etwas Besseres als die QR werden wir überall finden. "
Eine gebrochen rationale Funktion GRF ) leitest du genau so ab, wie du sie aufleitest: Polynomdivision + Teilbruchzerlegung ( PDTZ ) Dabei kommt TZ immer dann zum Einsatz , wenn Zählergrad < Nennergrad . Ansonsten PD
.
x
f ( x ) := 4 -------------------------- = ( 1a )
x ² + 4
A B
= -------------------- + ------------------------ ( 1b )
x + 2 i x - 2 i
Weil selbst die 4 711. Ableitung von ( 1b ) schaffst du noch locker im Kopf. Vergleiche mal mit dieser gefic kten QR; versuche mal, den reinen Arbeitsaufwand für die 4 711 . Ableitung in Stunden abzuschätzen ...
Schon in der Antike gab es Ägyptentourismus. Genau wie heute führten die den Touristen vor, wie pyramidonal dass die Hieroglyphen_Schreiberlinge sind. wie verantwortungsvoll , Jahre lang lernen und so ...
Ein Hellene ergreift einen Speckstein und schreibt damit seinen Namen in Buchstaben ...
Aber was sind A und B ? Die offizielle Lehrmeinung findest du auch im Internet nieder gelegt in KI Programmen von ===> Arndt Brünner und ===> Wolfram; angeblich hast du ein gekoppeltes LGS zu lösen, dessen Aufwand mit der Zahl der Unbekannten steigt. Wir drehen uns im Kreis, kommen vom Regen in die Traufe und treiben den Teufel mit Beelzebub aus. Wenn wir uns darauf einlassen, verlieren wir doch den ganzen schönen Vorteil wieder.
Übrigens; kennst du den Witz
" Der kürzeste Umweg zur reellen Analysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "
Weil so ein bissele elementare komplexe Akrobatik wird dir wohl nicht erspart bleiben.
Wir leben in modernen Zeiten; seit 1990 - meiner Meinung nach 200 Jahre zu spät - gibt es ein für Schüler sehr attraktives Verfahren, das Abdecker_oder Zuhälterverfahren. WAS du zu tun hast, ist bedeutend schneller erklärt als etwa die Mitternachtsformel. Du brauchst nix weiter, als Zahlen in Formeln einsetzen. Aber WARUM - da seh ich im Augenblick leider keine Chance.
Wenn du etwa A suchst, musst du nur die zugehörige Polstelle x1 = ( - 2 i ) einsetzen in ( 1a )
" Aber das geht doch gar nicht; genau dann wird doch ( 1a ) singulär. "
Eben. Deshalb " deckst du die Singularität ( mit der Hand ) ab " ( " Abdeckerverfahren " ) oder hältst sie zu ( " Zuhälterverfahren " ) Was du dann bekommst, schimpft sich " Integralkern G der Funktion f an der Polstelle x1 "
x
G ( x ; f , - 2 i ) = 4 -------------------- ( 2a )
x - 2 i
2 i
A = G ( - 2 i ; f , - 2 i ) = - 4 ------------------------- = 4/4 * 2 = 2 ( 2b )
-2i - 2 i
Ich ===> habe schon fertig . Denn da in ( 1a ) etwas Reelles heraus kommen muss, muss B als komplex ===> konjugiert heraus kommen; B = A = 2 ( 1b ) lautet demnach
f ( x ) = 2 [ 1 / ( x + 2 i ) + 1 / ( x - 2 i ) ] ( 3 )
Dein Lehrer kennt es nicht. Wenn du ihm aber mein Elaborat zeigst, dann " fasst der sisch an de Kopp " , wie mir Frankfotter saache. Seine Rechtfertigung findet es erst in den ===> Residuen , dem wohl kompliziertesten Kapitel der ( komplexen ) ===> Funktionentheorie.
Auf dem fossilen Portal " Lycos " mahnte mich eine Studienrätin ab, ich solle erst gar nicht den Eindruck erwecken, das Zuhälterverfahren sei mit einer billigen Plausibilitätsbetrachtung zu haben; sagt dir ===> Apollonios etwas? Der Mathelehrer von Alexander dem Großen?
" Es gibt keinen Königsweg zur Mathematik, Majestät. "
Halt srop; Ableiten is noch lange nich . Jede Kurvendiskussion ( KD ) hat zu beginnen mit einer Betrachtung über den qualitativen bzw. globalen Kurvenverlauf. Das beginnt schonmal damit, dass dir auffällt: Diese Funktion besitzt ungerade Symmetrie; aha. Wir können uns auf die rechte halbe Bene beschränken.
Übrigens ein Umstand, den ich als erster bemerkt habe. Wenn dir die Symmetrie nicht auffällt, macht auch nix. Denn in dieser Beziehung erweist sich TZ als äußerst hilfreich; es ist nämlich kein Zufall, dass wir A = B haben . Diese Bedingung ist äquivalent zu Punktsymmetrie; genauer : Gegeben sei die Funktion
A B
f ( x ; x1;2 ) := -------------------- + ---------------------- ( 4a )
x - x1 x - x2
Es gilt A = B genau dann, wenn ( 4a ) Punkt symmetrisch gegenüber dem arithm. Mittelwert
x_m = 1/2 ( x1 + x2 ) ( 4b )
Zum Beweis verlegen wir den Ursprung des cartesischen Koordinatensystems nach x_m; dann haben wir also die Pole ( + x0 ) so wie ( - x0 )
A B
f ( x ; x0 ) = ------------------------- + --------------------- ( 5a )
x + x0 x - x0
A B
f ( - x ) = - ------------------------- - ---------------------- ( 5b )
x - x0 x + x0
A B
-f ( x ) = - ----------------------- - ------------------------- ( 5c )
x + x0 x - x0
Voraussetzung: f in ( 5a ) ist Punkt symmetrisch ===> ( 5b ) = ( 5c ) TZ ist aber eindeutig; daher ist Koeffizientenvergleich zugelassen zwischen ( 5bc ) Wir werden auf die beiden Identitäten geführt ( - A = - B so wie - B = - A )
Wegen der ungeraden Symmetrie erwarten wir bei ( 1a ) in x = 0 einen Wendepunkt. Ferner verebbt der Graf wegen Nennergrad > Zählergrad für x ===> ( °° ) asymptotisch in ( + 0 ) Damit erwarten wir
0 < x_max < x_w ( 6 )
JETZT hat Ableiten zum ersten Mal Sinn. Weil wenn du die Punkte ( 6 ) nicht reproduzierst, hast du sicher einen Fehler beim Ableiten gemacht. Sollten unsere Ableitungen jedoch weitere unerwartete Nullstellen aufweisen, kommen wir bös ins Schwitzen; erst dann müssten wir die Vorzeichenprobe auf höhere Ableitungen machen. Die erste Ableitung von ( 3 ) Null gesetzt
( x - 2 i ) ² + ( x + 2 i ) ² = 0 ( 7a )
In der ersten und zweiten binomischen Formel hebt sich der Kreuzterm heraus; beachte i ² = ( - 1 ) ( weshalb wir das ganze Theater mit diesen komplexen Zahlen allererst eingeführt haben )
2 ( x ² - 4 ) = 0 ===> x_max = 2 ( 7b )
Die 2. Ableitung geht analog
( x - 2 i ) ³ + ( x + 2 i ) ³ = 0 ( 8a )
Hast du den binomischen satz drauf? Es gibt gerade und ungerade Terme:
[ x ³ - 3 * 2 i x ² + 3 ( 2 i ) ² x - ( 2 i ) ³ ] + [ x ³ + 3 * 2 i x ² + 3 ( 2 i ) ² x + ( 2 i ) ³ ] = ( 8b )
= 2 ( x ³ - 3 * 2 ² x ) = 0 ===> x_1w = 0 ; x_2w = x_max sqr ( 3 ) ( 8c )
Diese Wurzel_3_Beziehung in ( 8c ) gilt übrigens ganz allgemein; ersetze in ( 1a ) die Konstante 4 ( im Nenner ) durch a ²
Na vielleicht abschließend noch paar warme Worte zum Zuhälterverfahren. Du weißt, dass das Integral über ein elektrostatisches Feld längs einer geschlossenen Kurve Null ergibt ( Maschenregel ) , weil ja die Potenzialdifferenz U_End - U_Anf = 0 . Und was käme bei einem magnetischen B_Feld heraus? Schau nach bei ===> Robert Wichard Pohl, Elektrizitätslehre. Angenommen du piekst N Strom durchflossene Drähte durch ein Blatt Papier. Das B_Feld, integriert über einen geschlossenen Kreis, ist dann gleich der Summe aller Ströme im INNEREN des Kreises.
Wenn dich das nächste Mal einer fragt
" Kennst du eigentlich den Unterschied zwischen Drinnen und Draußen? "
antwortest du einfach
" Ich nicht; aber das Integral ... "
Und rein mathematisch sind diese Pole im Wesentlichen auch nix anderes als Ströme.
(u/v)´=(u´*v-u*v´)/v²
(x²+4)²=x⁴+2*4*x²+16
v=x⁴+8*x²+16 ergibt v´=4*x³+16*x
f´´(x)=0=u´*(x²+4)²-u* (falsch bei dir)
Bedingung Wendepunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich NULL.
Ein Wendepunkt ist bei x=0 deine falsche Rechnung hat hier keine Auswirkung
ob ein Wendepunkt vorliegt ergibt die Ableitung f´´´(x) ungleich NULL.
Hinweis: Der Wendpunkt trennt 2 Kurvenbögen konkav und konvex.
siehe Mathe-Formelbuch Differentialgeometrie,Krümmung
Formel k=y´´/(1+(y´)²)^3/2
Kurve von oben gesehen
k<0 konvex (Rechtskrümmung) y´´=negativ
k>0 konkav (linkskrümmung) y´´=positiv
findet also ein Vorzechenwechsel statt
Wendepunkte muss man nicht immer "gut" sehen können. Das liegt hier daran, dass die Steigung der gesamten Funktion immer recht klein ist. Die drei WP liegen bei -Wurzel(12), 0 und Wurzel(12), wie von dir richtig bestimmt.