Kann mir jemand folgende Textaufgabe erklären?
Ich hab zwar die Gleichung, doch ich verstehe die Fragestellung nicht wirklich
9 Antworten
Nach exakt 4 Stunden soll der Tank voll sein, wobei die erste Röhre die ganze Zeit verwendet werden soll.
Allgemein gilt für die Füllgeschwindigkeit einer Röhre:
Geschwindigkeit = Volumen / Zeit
Röhre 1:
Durch die erste Röhre kommt also 4 Sunden Flüssigkeit. Die Füllgeschwindigkeit ist
Geschwindigkeit = GesamtVolumen / 6h
Da wir aber nur 4 Stunden befüllen, schaffen wir mit der ersten Röhre nur 4/6 also 2/3 des GesamtVolumens.
Also muss das zweite Rohr noch 1/3 des Gesamtvolumens liefern. Die Frage ist nun, wie lange das zweite Rohr für 1/3 des Gesamtvolumens braucht.
Röhre 2:
Geschwindigkeit = GesamtVolumen / 9h
Da wir nicht das gesamte Volumen durch das zweite Rohr füllen müssen, sondern nur ein Drittel, brauchen wir auch nur ein Drittel der Zeit, die Rohr zwei für das gesamte Volumen bräuchte. Die Geschwindigkeit bleibt wie sie ist, wenn wir sowohl das zu befüllende Volumen als auch die Zeit durch 3 teilen:
Geschwindigkeit = (Drittel des GesamtVolumen) / 3h
Also muss das zweite Rohr 3 Stunden aktiv sein, muss also nach einer Stunde Laufzeit des ersten Rohres hinzugeschaltet werden, damit nach exakt 4 Stunden das Gesamtvolumen genau gefüllt ist.
Hallo jfkfkf,
der Behälter soll in 4 Stunden befüllt sein:
Da die beiden Zuläufe unterschiedlich schnell befüllen, reicht der erste Zulauf hierfür nicht aus, da dieser für eine vollständige Füllung 6 Stunden benötigt. Also muss entweder Zulauf 1 mehr Flüssigkeit in den Behälter geben (das geht aber nicht, weil ja das zu befüllende Volumen mit diesem Rohr maximal in 6 Stunden befüllt werden kann), oder der Behälter muss kleiner werden (auch das ist ja unsinnig, weil man ja genau DIESEN Behälter in 4 Stunden befüllen soll). Also muss zwangsläufig zu der "Leistungsfähigkeit" des ersten Rohres, das etwas langsamere zweite Rohr dazu geschaltet werden, damit beide zusammen den Behälter rechtzeitig in 4 Stunden befüllen können.
Wenn du ein Auto anschieben möchtest, dann ist das mit zwei Leuten sicherlich einfacher als allein. Wenn du anfängst zu schieben, dann erreichst du nach ein paar Minuten eine zurückgelegte Weglänge x. Wenn dir auf der Hälfte plötzlich ein Freund zu Hilfe kommt, wirst du in der gleichen Zeit, die du bereits angeschoben hast, mehr Wegstrecke zurücklegen, da ihr gemeinsam natürlich stärker seid.
Ich hoffe ich konnte dir helfen!
Viel schneller könnte der Tank in diesem Rechenbeispiel nicht voll werden, nur in schnellstens 3 Stunden und 36 min statt in 4 Stunden.
Wir kennen den Grund der Vorgabe nicht. Aber es könnte einen Sinn geben. Vielleicht soll die Pumpe für Röhre 2 in der Zwischenzeit noch für eine andere Aufgabe benutzt werden, die nichts mit der aktuellen Tankbefüllung zu tun hat.
Da man den vollen Tank erst in 4 Stunden braucht, kann man die Arbeitskapazität von Pumpe 2 so sinnvoller einsetzen, wenn man sich vorher ausrechnet, wie lange man Pumpe 2 eigentlich für die Tankbefüllungsaufgabe braucht.
genau , meine Argumentation war auch die , dass Pu 2 nur solange als nötig genutzt werden soll.
Wir kennen den Grund der Vorgabe nicht.
Der spielt auch keine Rolle, wenn es darum geht, einen Text in eine mathematische Formulierung umzusetzen. Und genau dazu ist das sogar eine sehr schöne Aufgabe.
Es sei Vt das Volumen des Tanks.
Die Fördermenge V1 der Röhre 1 beträgt laut Aufgabe eine Tankfüllung Vt pro 6h:
V1 = Vt / 6h
Die Fördermenge V2 der Röhre 2 beträgt laut Aufgabe eine Tankfüllung Vt pro 4h:
V2 = Vt / 4h
x sei die erforderliche Laufzeit der Röhre 2, damit der Tank in exakt 4h voll wird.
Dann gilt laut Aufgabe:
Vt = V1 * 4h + V2 * x
Vt = Vt / 6h * 4h + Vt / 4h * x
kürzen mit Vt:
1 = 1 / 6h * 4h + 1/ 4h * x
auflösen nach x:
1 - 4h/6h = 1 / 4h * x
mit 4h multiplizieren:
4h (1 - 4/6) = 4h/4h * x
4h (1/3) = x
x = 4/3 h = 1h + 1/3h = 1h 20 min
Zwischenergebnis: die Röhre 2 muss zusätzlich zur Röhre 1 1h 20 min zugeschaltet werden.
Das könnte man gleich am Anfang machen und die Röhre 2 dann abschalten oder man schaltet wie in der Aufgabe gefordert die Röhre 2 erst 1 h 20 min vor Schluss dazu.
1h 20 min vor Schluss bedeutet, nach Anfang der Befüllung schaltet man die
Röhre 2:
4 h - 1h20 min = 2h 40 min später dazu.
ich habe paguangares Lösung durchgerechnet : sie ist anders als deine , aber die Zahlen stimmen. Oder gibt es zwei Zeiten ?
bei dir müsste
4 * 1/6 + 1.333 * 1/9 Eins ergeben , oder ? Da wäre der Tank aber nur zu 81.47777% befüllt.
bei dir müsste 4 * 1/6 + 1.333 * 1/9 Eins ergeben
Warum?
Probe:
Vt = 4h * V1 + x * V2 = 4h * Vt/6h + 4/3h * Vt/4h = 4/6 * Vt + 4/12 * Vt = Vt (4/6 + 4/12) = Vt (8/12 + 4/12) = Vt * 12/12 = Vt
q.e.d.
Ich komme auf 1h. R₁ füllt den Tank zu ⅔, und deshalb muss R₂ das restliche Drittel übernehmen, was sie in 3h schafft.
Ich fürchte, Du hast Dich irgendwo verhaspelt.
R₁ füllt den Tank zu ⅔, und deshalb muss R₂ das restliche Drittel
Soweit richtig.
was sie in 3h schafft.
Wenn R2 den Tank in 4 h füllt, braucht sie für 1/3 davon 4/3 h, also 1h20 min und nicht 3h.
Ich fürchte, Du hast Dich irgendwo verhaspelt.
Mein Ansatz hat gegenüber allen anderen den Vorteil, dass er sauber mathematisch formuliert und durchgerechnet ist und nicht über irgendwelche Überlegungen versucht, die Mathematik zu vermeiden und dabei auf den Holzweg führt.
Mein Ansatz hat gegenüber allen anderen den Vorteil, dass er ... nicht über irgendwelche Überlegungen versucht, die Mathematik zu vermeiden und dabei auf den Holzweg führt.
Nicht gegenüber allen; mein Ansatz ist streng mathematisch. Insbesondere habe ich die Größen alle mit Formelzeichen bezeichnet.
Wenn R₂ den Tank in 4h füllt, braucht sie für 1/3 davon 4/3 h, also 1h20 min und nicht 3h.
Völlig richtig - wenn. Die 4h für die Füllung sind aber die Zeitvorgabe T für die Füllung des Tanks durch beide Röhren zusammen und nicht die Zeit T₂, in der R₂ allein den Tank füllen würde. T₂=9h, und ein Drittel davon ist 3h.
Aber das hast Du ja auch korrigiert.
Nun nochmal mein Ansatz mit den richtigen Werten:
V1 = Vt / 6h
V2 = Vt / 4h
Vt = V1 * 4h + V2 * x
Vt = Vt / 6h * 4h + Vt / 9h * x
kürzen mit Vt:
1 = 1 / 6h * 4h + 1/ 9h * x
auflösen nach x:
1 - 4h/6h = 1/9h * x
mit 9h multiplizieren:
9h - 9h* 4/6 = x
x = 54h/6 - 36h/6 = 18/6 h = 3h
Da R2 3h laufen muss, muss R2 nach genau 1h zugeschaltet werden.
Die Befüllungsgeschwindigkeit durch Röhre 1 beträgt 1/6 Tank/h = 6/36 Tank/h.
Die Befüllungsgeschwindigkeit durch Röhre 2 beträgt 1/9 Tank/h = 4/36 Tank/h.
Sind beide Zuflüsse geöffnet, so beträgt die Befüllungsgeschwindigkeit:
6/36 Tank/h + 4/36 Tank/h = 10/36 Tank/h.
In 4 h hätte man also eine Überfüllung von 4 * 10/36 = 40/36 Tankfüllungen erreicht.
Deshalb muss die zweite Röhre noch für einen Zeitraum gesperrt sein, der erforderlich wäre, um (40/36 - 36/36) = 4/36 Tankfüllungen zu fördern. Und das ist genau eine Stunde.
Also befüllt man den Tank die ganzen vier Stunden durch durch Röhre 1 und schaltet nach einer Stunde für drei Stunden lang Röhre 2 dazu.
tja , du sagst 3 h Röhre 2 und Hamburger oben was anderes. aber immerhin liegst du wohl richtig : 4 * 1/6 + 3 * 1/9 = 12/18 + 6/18
und die logik mit der überfüllung finde ich einen interessanten ansatz.
In der Aufgabenstellung gibt es ungenannte Voraussetzungen, die man sich mithilfe des "gesunden Menschenverstandes" ableiten muss, um die Aufgabe korrekt lösen zu können.
Die Grundvoraussetzung ist, dass die Befüllungsgeschwindigkeit bei geöffneter Röhre konstant ist, unabhängig vom aktuellen Füllstand des Tankes und Depots, aus dem sich der Zufluss speist.
Rein theoretisch könnte es auch ein Geschwindigkeitsgefälle geben: Zuerst fließt es schnell, aber dann immer langsamer. Wäre dies aber der Fall, dann hätte man keine Chance, die Aufgabe mit den gegebenen Informationen zu lösen.
Außerdem gibt es aus Gründen, die man nicht verstehen kann, sondern einfach hinnehmen muss,
1) die Forderung, dass der Zufluss aus der zweiten Röhre bitte erst so spät wie möglich zugeschaltet wird, und nicht am Anfang oder mittig (und dafür früher wieder abgeschaltet wird) und
2) die Forderung, dass der Tank bitte schön nicht schneller als nach 4 Stunden voll sein darf, obwohl man es auch schneller schaffen könnte.
Gäbe es Vorgabe 1) nicht, so könnte man auch zuerst Röhre 1 und Röhre 2 beide geöffnet haben, und nach drei Stunden dann Röhre 2 schließen. Oder man könnte Röhre 2 in einem oder mehreren beliebigen Zeitfenstern beliebig oft öffnen und schließen, so dass die Gesamtöffnungsdauer genau 3 h beträgt.
Gäbe es Vorgabe 2) nicht, so könnte man den Tank einfach durch beide Röhren binnen 3,6 h befüllt haben. Wenn es dann "zu früh" ist (vielleicht weil der Tanklastwagenfahrer noch Ruhepause hat), könnte man einfach die letzten 0,4 h abwarten. Wozu es gut sein soll, dass der komplette Füllstand erst nach 4 h erreicht sein darf, erschließt sich nicht aus der Aufgabe.
Die Mathematik ist zwar logisch, aber nicht die Textaufgaben, mit denen die Kinder und Jugendlichen in der Schule belästigt werden. Sie sollen sich schließlich nicht bilden, sondern beleert und erzogen werden.
Ich weiß schon, dass es entleert heißen müsste, aber so fällt die wahre Funktion der Schule weniger auf.
Das sehe ich etwas differenzierter, auch wenn ich als Kind Textaufgaben auch nicht besonders gemocht habe.
Eine Textaufgabe ist grundsätzlich eher gut dafür, nicht nur das Rechnen, sondern auch das Denken zu schulen, weil man ja keine fixundfertige Rechenaufgabe vor sich hat, sondern sich erst einmal überlegen muss, wie man eine solche Aufgabe überhaupt zu formulieren hat. In der Physik ist das gang und gäbe.
Problematisch ist es allerdings, wenn solche Aufgaben ohne Sinn und Verstand gestellt werden oder so, dass ein Schüler eine emotionale Abneigung dagegen entwickeln. Das kann sich letztlich auf das ganze Fach Mathematik ausweiten.
Ich finde Textaufgaben vom Prinzip her sehr gut. Hieran kann oder könnte man erkennen, wozu die Mathematik im richtigen Leben dienen kann. Wenn man nur Gleichungssysteme umformen muss, gelangt man als Schüler/in oder Studierende/r recht bald zur Auffassung, dass dies völlig sinnbefreit sei. Entweder man hat Spaß daran oder quält sich herum.
Mithilfe der Textaufgaben lernt man aber die Lösung von Problemen. Man transformiert einen Sachverhalt aus dem Leben in mathematische Terme und Gleichungen, abstrahiert dann, konzentriert sich eine Weile nur auf die Zahlen und Rechenoperationen, und bekommt am Ende ein Ergebnis mit einer Bedeutung und einer Handlungsanweisung, z.B. "Öffne den Schieber von Rohr 2 nach einer Stunde".
Ohne mathematisches Denken, alleine durch Ausprobieren, bekäme man die Tankbefüllung, die nach exakt 4 h beendet sein soll, nicht so einfach und stressfrei hin. Man müsste immer daneben stehenbleiben, beobachten und abschätzen, und hoffen, dass man es hinbekommt.
Es ist sehr wahrscheinlich, dass keiner oder höchstens einer der Schüler im späteren Leben ausgerechnet einmal einen Tank mit einer Flüssigkeit befüllen muss und sich überlegen muss, wie er das am besten in einem bestimmten Zeitrahmen hinbekommt.
Aber es gibt sehr viele Situationen, in denen man analoge Probleme, auch noch viel komplizierterer Art, lösen muss. Wenn man dann durch den Mathematikunterricht das logische und rechnerische Rüstzeug mitbekommen hat, kann das sehr nützlich sein.
Ein Ingenieur, Wirtschaftsmathematiker oder Stadtplaner muss Aufgaben lösen, bei denen es um viel mehr als nur zwei konstante Stoff-, Energie- oder Geldströme geht, die zusammengeführt werden müssen. Hier strömen vielleicht gleich Dutzende von Strömen mit schwankenden Geschwindigkeiten durcheinander, und man muss mathematische Modelle dafür entwickeln, um den Output zu optimieren.
Was Du schreibst, wäre dann gut, wenn die Initiative dafür vom Schüler ausginge. Dann bestünde nämlich ein Interesse. So ist es nichts weiter als eine Aufforderung. Und zwar: Zu tun, was der Lehrer verlangt; ohne jede wirkliche Bedeutung.
Ein Kind kommt denkend auf die Welt. Es bederf keiner fremdbestimmten Schulung dieses Vorgangs. Wenn Du Kinder in Ruhe lässt, kommen sie aus dem Denken gar nicht heraus.
Ein Ingenieur, Wirtschaftsmathematiker oder Stadtplaner muss Aufgaben lösen, (....), und man muss mathematische Modelle dafür entwickeln, um den Output zu optimieren.
Die Leute in den von Dir genannten Berufsgruppen müssen das nicht tun, sondern sie wollen das. Und genau darum wissen sie auch, wie das geht. Darum haben sie ein Interesse an der Mathematik. Und zwar ohne, dass 10 Jahre lang gezwungen waren seltsame Textaufgaben zu lösen. Sie könne es auch nicht deshalb besser, weil sie dazu gezwungen waren.
Beispiel: Thomas Alva Edison, einer der Väter der uns heute bekannten Elektrizität, musste sich nie mit diesem Thema in der Schule beschäftigen. a) weil Elektrizität unbekannt war und es somit keine Lehrer gab, die ihn damit triezen konnten und b) weil er bereits als kleiner Junge von der Schule verwiesen wurde. Grund: seine Lehrerin war der Auffassung, er sei behindert und solche Kinder wollte man in der Schule nicht haben (Edison war schwerhörig).
Und wer hat Ihn darin geschult, zu erkennen, dass die Elektrifizierung der Städte eine Milliardengeschäft ist?
Hallo Kuhlmann,
so lange es das ideale Schulsystem, oder die ideale Art und Weise, Kinder zu klugen Menschen heranwachsen zu lassen, nicht gibt, ist es immer noch besser, ein mittelmäßiges Schulsystem mit seinen Höhen und Tiefen sowie sinnvollen und weniger sinnvollen Aufgaben zu haben, als den Kindern gar keine Anregungen und Entwicklungsmöglichkeiten zu bieten.
aber der Tank könnte doch viel schneller voll werden , warum dann diese Lösung ?