Ist der ln(x) immer irrational, wenn x ∈ Q, x!= 1 ist?
Hallo! Ich würde gerne wissen, ob der ln von x immer irrational ist, wenn x natürlich nicht 1 ist. Denn dann wäre ln(x) = ln(1) = 0. Und 0 ist nicht irrational.
Ich glaube schon, da e ja auch irrational ist, und ln(x) = log(e;x) ist. Deshalb denke ich, dass das immer irrational seien müsste. Ist das echt so, oder irre ich mich?
Danke!
4 Antworten
Ja.
Ich würde das folgendermaßen zeigen...
Angenommen ln(x) wäre rational für eine Zahl x ∈ ℚ mit x ≠ 1 [und x > 0, damit ln(x) reellwertig definiert ist]. Dann gäbe es ganze Zahlen a, b mit ln(x) = a/b. Wegen ln(x) ≠ 0 für x ≠ 1 ist a ≠ 0. O.B.d.A. kann a > 0 angenommen werden (indem man das Vorzeichen von b passend wählt).
Dann wäre e^(a/b) = x. Dann wäre e^a = x^b. Dann wäre e^a - x^b = 0.
Da x eine rationale Zahl ist und b eine ganze wäre, wäre dann x^b auch eine rationale Zahl. Damit wäre dann z^a - x^b ein nicht-konstantes Polynom bzgl. der Variablen z mit rationalen Koeffizienten. Und e wäre eine Nullstelle dieses Polynoms.
Dementsprechend wäre e eine algebraische Zahl. Das wäre jedoch im Widerspruch dazu, dass die eulersche Zahl e eine transzendente Zahl ist. [Siehe auch: https://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_Körper:_Transzendenz_von_e_und_π]
Die Annahme [ln(x) wäre unter den Bedingungen rational] ist demnach falsch.
Ergebnis: ln(x) ist für alle x ∈ ℚ mit x ≠ 1 [und x > 0] irrational.
Danke! Genau so habe ich das auch gerade bewiesen! Der Beweis ist mir nur kurz danach gekommen.
Vielen Dank!
Da die Funktion y = f(x) = ln(x) alle Werte von 0 < y < unendlich annimmt müssen auch rationale und ganze Zahlen in der Menge der y-Werte enthalten sein.
Ergänzung: Ich habe die Bedingung x ∈ Q überlesen. (Hinweis von Hildebrunn21)
Das war auch nicht die Fragestellung.
Ist der ln(x) immer irrational, wenn x ∈ Q, x!= 1 ist?
Doch?
Es gilt dass e^q irrational ist, für jedes rationale q≠0.
More generally, e^q is irrational for any non-zero rational q.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_that_e_is_irrational
Wenn also p=ln(q) rational wäre, für ein q≠1, würde daraus e^p=q gelten.
Das ist ein Widerspruch, da dann e^q rational ist, was aber nicht sein kann.
Ja, du hast Recht. Der natürliche Logarithmus von x ist fast immer irrational, wenn x nicht 1 ist. Das liegt daran, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der exponentiellen Funktion ist. Da e selbst irrational ist, ist es unwahrscheinlich, dass eine potenzierte Form von e eine rationale Zahl ist, es sei denn, die Potenz ist 0, was zu 1 führt. Daher ist es unwahrscheinlich, dass ln(x) eine rationale Zahl ist, wenn x nicht 1 ist.
Ein weiteres Beispiel ist die Funktion ln(a^b) = b*ln(a). Hier ist a irgendeine rationale Zahl ungleich 0 und b irgendeine reelle Zahl. Da ln(a) irrational sein kann, selbst wenn a eine rationale Zahl ist, ist es wahrscheinlich, dass b * ln(a) irrational ist.
Danke!
Und wie ist es, wenn x = -1 ist? Ist Pi*i auch eine Art "irrationale" Zahl?
Wenn x = -1, dann ist ln(-1) eine reelle Zahl, die jedoch keine rationale Zahl ist. Der natürliche Logarithmus von -1 ist eine imaginäre Zahl, die als multiples von i * π bekannt ist, wobei i die imaginäre Einheit ist. Da π selbst eine irrationale Zahl ist, ist π * i auch eine Art irrationale Zahl, jedoch eine imaginäre Zahl. Es kann als eine Kombination aus einer realen und einer imaginären Komponente dargestellt werden, aber keine reine reelle oder rationale Zahl. Ist das verständlich oder kannst du mit den Fachbegriffen nichts anfangen? Dann versuche ich es noch einfacher zu erklären.
Nein Danke! Mit Komplexen Zahlen kenne ich mich gut aus. Ich habe nur, als ich meine nachfrage gestellt habe, nicht nachgedacht. Danke!
Ok . Sorry x ∈ Q, habe ich überlesen. Aber deine Antwort erscheint mir dennoch nicht beweisträchtig zu sein.
Da e selbst irrational ist, ist es unwahrscheinlich, dass eine potenzierte Form von e eine rationale Zahl ist
Ich fürchte, das Argument hinkt ein wenig. Etwa √2 ist ebenso eine irrationale Zahl, aber (√2)² ist durchaus rational.
Nein, (√2)^2 = 2 ist keine rationale Zahl. Die rationale Zahlen sind diejenigen, die als Bruch von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden können. √2 kann jedoch nicht in dieser Form dargestellt werden, da keine ganzen Zahlen gefunden werden können, die bei der Multiplikation 2 ergeben.
Aber mir ist etwas aufgefallen: e ist transzendent. Also ist e^x x E N denke ich immer irrational.
Ja, die Transzendenz ist in der Tat hinreichend dafür. Die Irrationalität nur eben nicht ;)
Ja, du hast Recht! Eine transzendente Zahl ist eine Zahl, die nicht durch eine rationale Zahl beschrieben werden kann. Da e transzendent ist, ist jede Potenz von e, also e^x, für x ein reelles oder ein imaginäres Zahlen ebenfalls transzendent. Das bedeutet, dass e^x im Allgemeinen irrational ist, sofern x nicht eine rationale Zahl ist.
Mir ist klar dass √2 nicht rational ist. Aber (√2)² = 2 = 2/1 ist eben schon rational. Damit gibt es eine ganzzahlige Potenz von √2, die rational ist.
Das ist richtig! Eine Potenz von √2, wie z.B. (√2)^2, kann eine rationale Zahl sein, auch wenn √2 selbst irrational ist.
Diese Tatsache zeigt, dass es im Allgemeinen schwierig ist, die Rationalität einer Zahl zu beurteilen, wenn sie in irgendeiner Form Wurzeln oder Logarithmen enthält. Deswegen kann es notwendig sein, weitere Berechnungen durchzuführen, um zu bestimmen, ob eine Zahl rational oder irrational ist.
Eine transzendente Zahl ist eine Zahl, die nicht durch eine rationale Zahl beschrieben werden kann.
So ist Transzendenz nicht definiert.
Da e transzendent ist, ist jede Potenz von e, also e^x, für x ein reelles oder ein imaginäres Zahlen ebenfalls transzendent.
Also ist e^0 = 1 auch transzendent?
Das bedeutet, dass e^x im Allgemeinen irrational ist, sofern x nicht eine rationale Zahl ist.
e^ln(2) ist rational, obwohl ln(2) irrational ist.
Hör bitte auf, mit ChatGPT Unsinn zu produzieren. ChatGPT ist NICHT dazu da um mathematische Aufgaben zu lösen, es ist einfach nur ein fehleranfälliges Sprachmodell. Und wie man sieht, gibst du dir nicht Mal die mühe, die generierten Antworten zu Kontrollieren (oder du hast das wissen nicht).
Seine Kommentare sind kein Dank wert, die sind voll mit Fehlern, da die von einer KI sind.
Obwohl der Text so massive Fehler enthält, und offensichtlich nicht korrekturgelesen wurde?
Diese Stetigkeitsfolgerung gilt zwar über den reellen Zahlen, aber das heißt ja noch nicht dass es auch rationale x gibt, sodass f(x) rational ist.