Integral von 1/(x^2+9)?

ich versuche das Integral von 1/(x^2+9) auszurechnen und habe auf einer Seite die Integrale berechnet gesehen das man hier x/3=u substituiert also

1/(x^2+9)

dann kommt man auf

3/(9u^2+9)

ich verstehe aber nicht wie man hierauf kommt: 3/(9u^2+9)

Kann das bitte jemand erklären?

Answer 1

[Maxi170703]

x = 3u einsetzen und dx = 3 du

int 1/(x^2+9) dx = int 3/(9u^2+9) du

Dann kannst du 3/9 vors Integral ziehen:

1/3 * int 1/(u^2+1) du = 1/3 * arctan(u) + c = 1/3*arctan(x/3) + c

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Maschinenbaustudent, RWTH Aachen

Comments

[milan558]

Woher komm dann die 3 im Zähler?

[milan558]

@milan558

Ah ok danke habs verstanden, finde es nur schwer immer herauszufinden was man substituieren muss und wie

[Maxi170703]

@milan558

Das verstehe ich. Das ist reine Übungssache. Es gibt ja auch das Sprichwort: Differenzieren ist Handwerk, integrieren ist Kunst.

Answer 2

[AusMeinemAlltag]

∫ 1 / (a + b * x + c * x ^ 2) * dx = ?

k = √(4 * a * c - b ^ 2)

∫ 1 / (a + b * x + c * x ^ 2) * dx = (2 / k) * arctan((1 / k) * (b + 2 * c * x)) + C

In deinem Beispiel:

a = 9, b = 0, c = 1

k = √(4 * 9 * 1 - 0 ^ 2) = 6

Also:

(2 / 6) * arctan((1 / 6) * (0 + 2 * 1 * x)) + C = (1 / 3) * arctan((1 / 3) * x) + C

Answer 3

[poseidon42]

Der erste Ansatz ist den Integranden auf eine "Standardform" zu bringen. So wissen wir zum Beispiel:

tan(x)' = 1 + tan(x)²

arctan(x)' = 1/(1 + x²)

Beachte:

(tan(arctan(x)))' = x' = 1 = tan'(arctan(x)) * arctan(x)'

--> 1 = (1 + x²)*arctan(x)'

--> arctan(x)' = 1/(1 + x²)

Es sollte die Ähnlichkeit zwischen der Ableitung von arctan und dem Integranden auffallen. Es gilt den Integranden also auf obige Gestalt zu bringen. Es folgt:

1/(x² + 9) = (1/9) * 1/((x/3)² + 1)

Somit folgt durch die Substitution x = 3*u entsprechend

(1/9) * 1/((x/3)² + 1) --> (1/9) * 1/(u² + 1)

und somit besitzt der Integrand die gewünschte Gestalt. Es gilt also:

int{ 1/(x² + 9) dx} = int{ (1/9) * 1/((x/3)² + 1) dx } = int{ (1/3) * 1/(u² + 1) du } = (1/3)*arctan(u) + const. = (1/3)*arctan(x/3) + const.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)

Answer 4

[Halbrecht]

x/3 * ? = x²

? = x²*3/x = 3x 

Man ersetzt also x durch 3x und kommt so auf (3x)² = 9x²

.

Drauf kommen ist auch schwer 

Viel Übung wichtig . Und man muss die sogenannten Standardintegrale kennen 

..

Hier muss man das Vorwissen haben , dass man x²+9 vielleicht auf x²+1 bringen kann . Denn für letzteres sollte man arctan kennen.