Injektivität? Mathe-Hilfe?

Man soll die Abbildung f1 auf Injektivität untersuchen.

Kann man hier diesen Ansatz verwenden? Also dass wir annehmen, dass f(x1) = f(x2) und daraus muss folgen: x1 = x2. Wenn ja, wie müsste man dann rechnen?

DANKE!

Answer 1

[eterneladam]

Beachte dass  2/(2^2 + 1) = 0.5/(0.5^2 + 1)

Answer 2

[gliko]

Kann man hier diesen Ansatz verwenden?

Da das die definition ist musst du das sogar verwenden.

Tipp: die funktion ist nicht Injektiv

Comments

[Sarahmoro]

Können Sie es bitte rechnen, sodass ich es nachvollziehen kann?

[Sarahmoro]

Danke, können Sie mir bitte noch sagen, wie man hier am GESCHICKTESTEN rechnet?

[gliko]

@Sarahmoro

Ich würde mir einfach 2 zu einem wert ausrechnen, dass es 2 Punkte x1 und x2 gibt, so dass f(x1)=f(x2)

Answer 3

[nobytree2]

$\forall x_1,x_2:\ x_1\ne x_2\Rightarrow f\left(x_2\right)\ne f\left(x_1\right)\ bzw.\ f\left(x_{1\ }\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2$

$\frac{x_1}{x_1^2+c}=\frac{x_2}{x_2^2+c}\to x_1\left(x_2^2+c\right)=x_2\left(x_1^2+c\right)$

$x_1\left(x_2^2+c\right)=x_2x_1^2+x_2c$ $x_1\left(x_2^2+c\right)-x_2x_1^2-x_2c=0$ $-x_2x_1^2+x_1\left(x_2^2+c\right)-x_2c=0$ $Sei\ x_2\ne0\ \left(da\ sonst\ auch\ x_1=0=x_2\right),\ dann\ teilen\ wir\ durch\ -x_2$

$x_1^2-x_1\left(x_2+\frac{c}{x_2}\right)+c=0$

$x_1^2-2x_1\cdot\frac{1}{2}\left(x_2+\frac{c}{x_2}\right)+\frac{1}{4}\left(x_2+\frac{c}{x_2}\right)^2-\frac{1}{4}\left(x_2+\frac{c}{x_2}\right)+c=0$ $\left(x_1-\frac{1}{2}x_2-\frac{c}{2x_2}\right)^2=\frac{1}{4}\left(x_2+\frac{c}{x_2}\right)^2-c$ $x_1=\pm\sqrt{\frac{1}{4}\left(x_2+\frac{c}{x_2}\right)^2-c}+\frac{1}{2}x_2+\frac{c}{2x_2}$ $Da\ x_1=x_2\ gelten\ soll\ \left(Widerspruchsbeweis\right)$ $x=\pm\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+\frac{c}{x}\right)-c}+\frac{1}{2}x+\frac{c}{2x}$

Answer 4

[fr1tschc4ce]

Jo, das ist genau der richtige Weg! Wenn f injektiv ist, gilt per Definition: f(x₁)=f(x₂) → x₁=x₂.

Jetzt bitte den Bildlink checken!

Comments

[Sarahmoro]

Können Sie es bitte mir vorrechnen?