Lokale Injektivität bei vektorwertiger Funktion?
Hallo,
Es soll eine lokale Injektivität um (1,1) bewiesen werden.
Es muss ja dann gelten: f(x1)=f(x2) => x1=x2 wobei x1&x2 Vektoren in der Umgebung um (1,1) sind.
Jedoch weiß ich nicht ganz wie ich das ganze beweisen kann?
3 Antworten
Du kannst überprüfen, ob die Jacobi-Matrix J(f) an der Stelle (1, 1) invertierbar ist. Wenn dem so ist, ist f nach dem Satz von der inversen Funktion an (1, 1) lokal invertierbar, insbesondere also injektiv…
Stimmt ich habe viel zu kompliziert gedacht, in dem Fall einfach Determinante der Jacobi Matrix ausrechnen und checken ob sie eh ungleich 0 ist. Danke vielmals!
Nicht "in der Umgebung von (1,1)" - es gibt viele Umgebungen von (1,1)! Lokale Injektivität bedeutet, dass es eine Umgebung von (1,1) gibt, in der die Funktion injektiv ist (genauer: ..., so dass die Einschränkung der Funktion auf sie injektiv ist). Und hat man erst mal eine solche Umgebung, so ist jede in ihr enthaltene Umgebung von (1,1) natürlich wieder von der Art.
Die Bedingung dafür lautet: Rang(J(a))=n.
Also dass der Rang der Jacobi-Matrix am Punkt a gleich der Zahl der Variablen (n) ist.