Ich brauche Hilfe?

Der Querschnitt des abgebildeten, oben offenen Kanals setzt sich aus zwei

Viertelkreisen und einem Rechteck zusammen. Die Höhe des Kanals ist r. Der

„Umfang“, der sich aus zwei Viertelkreisbögen und der Strecke s zusammensetzt,

beträgt 5 m.

Bestimmen Sie diejenigen Werte für r und s, für die der Flächeninhalt des Querschnitts

maximal wird und interpretieren Sie das Ergebnis. Leiten Sie dafür zunächst die

Zielfunktion für den Flächeninhalt her.

ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll könnte mir einer helfen ?

Answer 1

[evtldocha]

Hauptbedingung (Der Querschnitt sind zwei Viertelkreise mit Radius "r" plus ein Rechteck der Seitenlängen "r" und "s")

$A\left(r,s\right)=2\cdot\frac{1}{4}\pi r^2+r\cdot s$

Nebenbedingung (Umfang ist 2-mal der Umfang eines Viertelkreises plus die Strecke s):

$U\left(r,s\right)=2\cdot\frac{1}{4}\cdot2\pi r+s\ =\pi r+s\ =5\ \rightarrow\ s\ =5-\pi\cdot r$

Das macht aus der Hauptbedingung eine Funktion von nur noch "r", wenn man dort "s" aus der Nebenbedingung einsetzt:

$A\left(r\right)=\frac{1}{2}\pi r^2+r\cdot\left(5-\pi r\right)$

Für diese Funktion suchst Du nun ganz klassisch das Maximum (Hinweis: Die Zielfunktion lässt sich noch vereinfachen).

Comments

[tunik123]

Ich habe mal spaßeshalber r = (5 - s)/Pi in die Zielfunktion eingesetzt. Das ist zwar deutlich mehr Rechenaufwand, aber die Zielfunktion wird dann sehr einfach ;-)

[evtldocha]

@tunik123

A(r) = - (1/2)· π· r² + 5·r ist jetzt auch nicht soooo kompliziert. Man muss halt meinen Hinweis befolgen ;-)

[tunik123]

@evtldocha

Wenn man bis A(r) = -1/2· π· r² + 5·r gekommen ist, liegt es nahe, die erste Ableitung 0 zu setzen.

Die Funktion A(s) hatte ich nur deshalb ermittelt, weil die Lösung s doch ein recht spezieller Wert ist ;-) Da wollte ich mal sehen, wie das aussieht.