Kann mir jemand folgende Mathe-Aufgabe erklären?
Aufgabe: Für Freizeitaktivitäten im Wassersport wird ein neuer Kanal als Verbindung zwischen zwei Seen angelegt. Der Kanal ist 8m breit und besitzt eine maximale Tiefe von 2m. Der Querschnitt des Kanals kann näherungsweise als parabelförmig angenommen werden.
a) Ermittlen Sie den Flächeninhalt der abgebildeten Querschnittsfläche des Kanals.
Also mein Ansatz: f(x) = ax² + c 0 = 16a - 2 a = 1/8 f(x) = 1/8x² - 2 Flächeninhalt von Rechteck = a * b Flächeninhalt Funktion = ∫f(x) dx (untere Grenze -4 & obere Grenze 4) A = A-Rechteck - A-Flächeninhalt = 16 - 32/3 A = 5,3 m² In den Lösungen steht aber, dass der Flächeninhalt 10,6m² beträgt Warum?
c) Im Sommer steht das Wasser im Kanal an der tiefsten Stelle 1 m hoch. Bestimmen Sie das Wasservolumen des beschriebenen Kanals im Sommer.
Warum muss ich hier nur das Integral ausrechnen für den Flächeninhalt
und nicht wieder A = Flächeninhalt_Rechteck - Integral?
Skizze
1 Antwort
Ein Rechteck kommt in der Aufgabe überhaupt nicht vor. Andernfalls habe ich nicht verstanden, was du damit meinst.
∫f(x) dx = [x³/24 -2x] +C
Grenzen einsetzen -4 bis 4
A = [4³/24 -2*4] - [(-4)³/24 -2(-4)] = [-5,3333] - [5,333] = -10,66
|A| = 10,66
Aufgabe c)
Wenn das Wasser nur 1m hoch steht, dann die Funktion einfach um +1 höher verschieben. Nullstellen bestimmen. Die Nullstellen sind die neuen Grenzen.
Aufgabe c) ist der rote Graph.
Zur Kontrolle: Nullstellen kannst du Ablesen. Flächeninhalt ist 3,77 m²
Das ist ja umständlich. Ich verstehe, dass so, dass der Tiefpunkt dann bei 0|0 liegt. Dann wäre bei y = +2m der obere Punkt des Kanals und auch die Seitenwände des Rechtecks. Dann müsste man Rechtecksfläche minus Integral von minus 4 bis +4 rechnen wie sonst auch. Die Funktion wäre hieraus. f(x) = 1/8x²
Dein Ansatz ist viel besser mit der Funktion f(x) = 1/8x² - 2. Da braucht man kein Rechteck.
Die grüne Funktion hat die Gleichung f(x) = 1/8x^2 - 2.
Die rote Funktion hat die Gleichung f(x) = 1/8x^2 - 1
Diese neue komische Funktion hat die Gleichung f(x) = 1/8x^2 - 0 und ist noch mal weiter nach oben verschoben.
Wenn das Rechteck verwendet werden soll, dann muss die Funktion f(x) = 1/8x^2-0 verwendet werden, ja. Daher brauchst du das Rechteck. Das Rechteck hat die Höhe 2m. Verstehst du es ist beim Rechteck alles um +2 nach oben verschoben. Das ist aber zusätzlicher Aufwand und auch etwas schwerer zu verstehen. Siehst du ja schon =D
Also ich hab jetzt ne Skizze hinzugefügt die ist auch neben der Aufgabenstellung.. das ist mit Rechteck gemeint