HILFE! Matheaufgabe, Analysis IQB Abituraufgaben?
Hallo Leute,
ich rechne gerade die IQB Aufgaben durch und bin bei einer total verzweifelt, sie lautet:
2 Für ein anderes Becken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für 0 ≤ t ≤ 15 durch die Funktion g mit g(t)= 0,8t^3- 15,6t^2 +72t beschrieben. Dabei ist t die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und g(t) die Änderungsrate in Kubikmeter pro h . Die Funktion G(t)= 0.2t^4 - 5,2t^3+36t^2 ist eine Stammfunktion von g.
a Berechnen Sie für den beschriebenen Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Wasservolumens maximal ist.
b Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitraum, in dem das Volumen des Wassers abnimmt.
c Drei Stunden nach Beobachtungsbeginn sind im Becken 350 Kubikmeter Wasser enthalten. Bestimmen Sie das Volumen des Wassers zu Beobachtungsbeginn.
d Untersuchen Sie rechnerisch, ob es nach Beobachtungsbeginn einen Zeitpunkt gibt, zu dem das Wasservolumen ebenso groß ist wie zu Beobachtungsbeginn.
zu a.): ich bin so vorgegangen, dass ich die Extrempunkte ausgerechnet habe mithilfe der 1. Ableitung, bei t=3 ist ein HP, ich habe auch die funktion gezeichnet, aber in der Lösung steht, dass es der Zeitpunkt t=15 ist was ich absolut nicht nachvollziehen kann. Bei t=15 beträgt die mom. Änderungsrate 250, beim Hochpunkt nur 97,2..
b.) dort, habe ich direkt an das Monotonieverhalten gedacht, deshalb hab ich mithilfe der 1. Ableitung ermittelt, wann die Funktion steigend bzw fallend ist. In der Lösung haben die jedoch die grundfunktion also g(t)benutzt.. liegt es daran, dass die Funktion schon die Steigung also die mom. Änderung angibt?
c.)
bei c stand in der Lösung dass die 350 - das Integral mit den Grenzen 0 bis 3 verwendet haben.. liegt es daran weil, der Flächeninhalt eigentlich zwischen 0 und 3, 199,8 beträgt, aber es 350 betragen muss und die deswegen die 199,8 von der 350 abziehen?
d.) bei d haben die das uneigentliche Integral verwendet, bei dem die obere Grenze fehlt. Bis hier hin konnte ich es nachvollziehen, aber die haben es nicht mit der 150 gleichgesetzt sondern mit der 0.. obwohl man in Teilaufgabe c ermittelt hat, dass das Volumen zu Beginn 150 FE beträgt..
2 Antworten
- a) Wenn du das globale Maxima innerhalb eines Intervalls einer Funktion bestimmen musst, musst du die Randwerte separat untersuchen.
Ich erhalte jedoch g(t=15)=270. Hast du die Lösung richtig abgeschrieben?
- b) Genau, g(t) gibt schon die Änderungsrate an, also nimmt das Wasservolumen ab, wenn die Steigung von g(t) negativ ist.
- c) Deine Erklärung stimmt, ich rolle es mal noch von vorne auf:
g(t) beschreibt die Änderungsrate, also beschreibt die Integration von g(t) das enthaltene Wasservolumen.
Integration_von_g(t)_nach_t = 0.2t^4 - 5.2t^3+36t^2 + Konstante = G(t) + Konstante
Die Konstante gibt dir den Anfangswert (Wasservolumen zu t=0). Du musst jetzt also mithilfe der gegebenen Bedingung die Konstante bestimmen.
Bedingung: Integration_von_g(t)_nach_t = 350 -> G(t) + Konstante = 350
-> 350 - G(t=3) = Konstante
- d) Du stellst hier ja eine Gleichung auf, die Konstante hast du auf beiden Seiten der Gleichung, kannst du also abziehen:
Aus c): Wasservolumen zum Zeitpunkt t = G(t) + Konstante
Frage: Gibt es G(t=0)+Konstante = G(t)+Konstante, im Intervall 0<t<=15
G(t=0)+Konstante = G(t)+Konstante -> G(t=0) = G(t)
-> 0 = 0.2t^4 - 5.2t^3+36t^2 -> gibt es eine Lösung für t?
- c) Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Frage richtig verstehe. Geht es dir nur darum, wie man jetzt 350-G(t=3) ausrechnet?
G(t) = 0.2t^4 - 5.2t^3+36t^2 -> gegebene Stammfunktion
G(t=3) = 0.2*3^4 - 5.2*3^3+36*3^2 = 199.8
Konstante = 350 - G(t=3) = 350 - 199.8
Fass es das nicht war, musst du mir die Frage nochmals anders formulieren...
- b) Das hast du richtig verstanden. Wenn in diesem Fall eine Funktion für das Wasservolumen gegeben wäre, müsstest du die 1. Ableitung bilden.
Das kannst du auch überprüfen: Nimm die gegebene Stammfunktion G(t) als Ausgangsfunktion, diese beschreibt ja das Wasservolumen über die Zeit. Von G(t) musst du die 1. Ableitung nehmen, um herauszufinden wo die Wasservolumen-Änderung negativ ist. Und die 1. Ableitung von G(t) ist ja g(t), also erhälst du dasselbe.
Ja genau das war meine Frage :) d.h. also das mir die Konstante c also in diesem Fall die 150 mir den Anfangsbestand angibt oder?
und ja das habe ich jetzt verstanden :) nur habe ich wahrscheinlich während ich gerechnet habe nicht drauf geachtet das die Funktion in diesem Fall die momentane Änderungsrate angibt.. die erste Ableitung würde dann ja in diesem Sachzusammenhang die Beschleunigung angeben oder? d.h. aber trotzdem wenn der WP gefragt wäre, müsste ich dennoch die 2. Ableitung bilden?
c) Ah super und ja, das ist korrekt.
Da wir es hier mit einer Volumen-Änderung, nicht mit einer Bewegung, zu tun haben, würde ich nicht von einer Beschleunigung sprechen. Aber im übertragenen Sinne ja (wenn du statt das Wasservolumen z.B. die Höhe des Wasserspiegels betrachten würdest).
Wenn Wendepunkt oder Extrema etc. gesucht sind, bezieht es sich ja nur auf den Graphen, nicht darauf, was dieser aussagt. Also gehst du bei jeder Funktion gleich vor: Um einen Wendepunkt von G(t) zu finden, musst du G(t) 2 mal ableiten (-> 1. Ableitung von g(t)). Um einen Wendepunkt von g(t) zu finden, verwendest du die 2. Ableitung von g(t).
Danke für die ausführlichen Antworten, haben mir echt geholfen!
a) Beim eingeschränkten Definitionsbereich musst du auch auf Randextrema untersuchen.
b) g ist die Änderungsrate. Ist die negativ nimmt das Volumen ab
c) Es gibt unendlich viele Stammfnktionen ("+c")
Das passende c musst du aus der Randbedingung bestimmen.
bei d setzt du den Wert der Stammfuntion mit dem passenden c mit dem Wert von 0 gleich, um zu prüfen, ob es ein weiteres t dazu gibt.
Danke für die Antwort... inwiefern Randextrema? wäre die Randbedingung G(3)=350 ?
Das Finden der Extrema über die Nullstellen der Ableitung funktioniert nur im Innern. Am Rand kann durchaus ein höherer/tieferer Punkt liegen, ohne dass dort die Steigung null ist.
Deine Aussage über die Randbedingung trifft's.
d.h also wenn am Rand ein höherer oder tieferer Punkt vorliegt, verliert der lokale Extrempunkt an Bedeutung und ich müsste dann in diesem Fall, den Randextrema angeben, richtig? aber woher weiß ich das?
... indem man es prüft... (die Extrema - plural, das Extremum - singular)
Danke für die ausführliche Antwort.. nur leuchtet mir immer noch der Punkt mit der Konstante nicht ein. Ich weiß,dass es unendlich viele Stammfunktionen gibt und deshalb bei allen Stammfunktion eine Konstante hinzugefügt werden kann.. nur wenn ich +350 rechne und t =3 einsetze, wie kommt man dann auf 350- G(t)? und habe ich es richtig verstanden, dass man bei b.) NICHT die erste Ableitung bilden muss, weil die Funktion eh schon die mom. Änderungsrate angibt? d.h wenn die Funktion beispielsweise das Volumen oder was auch immer angegeben hätte , müsste ich aber für die Abnahme die erste Ableitung bilden oder?