Momentane Änderungsrate mit Ableitungen
Hallo zusammen,
Ich schreibe morgen Mathe Vorabi, habe aber ein großes Problem mit dem Verständnis von Aufgabenstellungen. In einer Aufgabe hieß es, dass die Funktion f die momentane Änderungsrate der Staulänge angibt. Folglich sind die Zeitpunkte, zu denen die Staulänge am schnellsten zunimmt bzw. abnimmt beschrieben durch f ' (x) und nicht f ' ' (x). Das Prinzip verstehe ich und auch den Grund, jedoch kann ich nicht erkennen, wann wirklich die Änderungsrate vorliegt. In einem Beispiel hieß es, dass die momentane Zuflussrate aus einem Bach durch die Funktion f beschrieben sei, jedoch wurde bei dem Zeitpunkt, an dem die stärkste Änderung der Zuflussrate vorliegt, nicht wie oben in der Aufgabe das Prinzip angewendet, sondern ganz normal mit der zweiten Ableitung die Wendestelle berechnet.
Woran erkennt man, dass eine momentane Änderungsrate vorliegt? Rein theoretisch hat ja auch in der zweiten Aufgabe die momentane Zuflussrate die Geschwindigkeit angegeben.
Ich bedanke mich im Voraus!
Liebe Grüße, SissiJuli
4 Antworten
Ich nehme das Beispiel mit dem Stau.
Dazu nehme ich an, dass die Funktion f die Staulänge zu einem Zeitpunkt t angibt.
Dann gibt Dir die Ableitung f´(t) die Änderung der Staulänge an; ist f´ positiv, nummt der Stau zu, ist f´negativ nimmt der Stau ab.
Sollst Du bestimmen, wann die Staulänge am schnellsten zu- oder abnimmt, suchst Du eine Extremstelle der Zu/Abnahme, also eine Extremstellke von f´. Das sind genau die Eendestellen von f´´.
Du kannst also entweder f´ auf Extrema oder f auf Wendestellen untersuchen. Das ist exakt dasselbe.
Die Mathematik gibt allgemeine Lösungen an wie die Funktion y=f(x) = m * x +b
Hierzu gehören auch all die Ableitungen.Du musst nach Analogien suchen.
Beispiel :Definition :Geschwindigkeit ist der zurückgelegte Weg pro Zeiteinheit
Formel v= s/ t oder v= (S2 - S1) / (t2 - t1). dies ist die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitintervall t2 - t1
wird nun das Zeitintervall (t2 - t1) unendlich klein,so erhält man den Differentialquotienten für die Geschwindigkeit und es gilt
ds(dt =v die erste Ableitung des Weges nach der Zeit ergibt die Momentangeschwindigkeit !!
Zu deiner Aufgabe: Dies ist eine spezielle Anwendung der Mathematik und du musst erst einmal die Änderungsrate und die Zuflussrate genau definieren !!
Dann suchst du nach einer Analogie zwischen der normalen Mathematik und deiner An- wendung (Aufgabe)
Wenn f(t) die momentane Änderungsrate der Staulänge ist, dann ist die Stammfunktion von f(t) die Staulänge. Wenn man die Extrema von f(t) sucht, muss man f '(t) = 0 setzen. Wenn f(t) die momentane Zuflussrate des Baches ist, dann ist die Stammfunktion von f(t) das Volumen zB. des Teiches, der vom Bach gespeist wird (wenn nichts wieder abfließt).Die Änderung der Zuflussrate ist dann f '(x), und deren Extrema bei f " (x) = 0
f ' (x)= gibt die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x0 an. f '' (x)= gibt die Änderungsrate der Steigung an der Stelle x0 an. Weiterhin weist du, wie man die Extrempunkte ' , sowie Wendepubkte " bestimmt :)
Deine Aufgabe: Die Kf zeigt eine Momentaufname vom Stau dar :) und dazu f'(x)= da bekommst du die lokale Maximun/Mininum Stellen :), die wiederum bei dir die Zeitpunkte angibt...weiterhin weist du doch: Tiefpunkt: Vzw. von - zu + :) und Hochpunkt Vzw. von + zu - :=) daraus folgt: beim Maximum: f''(x0) < 0 und Minimum f''(x0) > 0 :) weiter kannst du ja sagen, ob es (streng) monoton wachsen/fallend ist...
Ich kenn halt nicht deine Aufgabe etc. deshalb kann ich dazu wenig schreiben^^ wie und warum... ist halt manchmal einwenig abstrakt ;) ich hoff ich konnte dir etwas helfen^^