Grenzwert einer Folge? Wie lösen?

Wie kommt man auf den Grenzwert 4 und 2? Hat man etwa große Zahlen wie 100 und 1000 eingesetzt?

Und der Grenzwert von

bei n -> ♾️ konvergiert gegen 0. Wie kommt man auf den Grenzwert 0?

Answer 1

[verreisterNutzer]

Zähler:

$\frac{4\ +4n}{n}=\frac{4}{n}+4$ $\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}+4\ =4$

Nenner:

$\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$ $\lim_{n\to\infty}2+\frac{1}{n}=2$

Damit folgt für

$\lim_{n\to\infty}\ \frac{a_n}{b_n}=\frac{4}{2}=2$

Zum Nachtrag in der Frage:

Und wieso kann man hier nicht -1 vernachlässigen bei der Grenzwertbetrachtung?

Wenn ich den Zusammenhang richtig verstehe, geht es um:

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\left(\frac{3}{5}\right)^k=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}}{^{1-\frac{3}{5}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}}{^{\frac{2}{5}}}=$ $\frac{5}{2}\cdot\lim_{n\to\infty}\ \left(1-\left(\frac{3}{5}\right)^{n+1}\right)=\frac{5}{2}\left(1+0\right)=\frac{5}{2}$

Warum als sollte man die 1 also vernachlässigen:

Achtung: in meiner Rechnung ist ein -1 ausgeklammert und gekürzt

$\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=\frac{-1\cdot\left(1-q^{n+1}\right)}{-1\cdot\left(1-q\right)}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

In Deinem

Answer 2

[Halbrecht]

man kann die 4 und die 1 vernachlässigen, und hat dann nur noch 4n/n //// 2n/n zu betrachten

.

grundsätzlich

jedes Produkt a^n mit 0 < a < 1 geht gegen Null mit n aus R

.

Hier mal mit Dezimalzahlen denken

3/5 = 0.6 = 6/10

(6*6*6..../10*10*10......)

Comments

[Sarahmoro]

Können Sie bitte noch auf meine Frage eingehen, die ich ergänzt habe? Das wäre sehr nett

[Kazuha520]

@Sarahmoro

In deiner ergänzten frage haben die 3/5 im Zähler und Nenner verschiedene Exponenten. Es gilt nur, Zähler durch Nenner = Grenzwert, wenn diese die Basis des Grads (also größten Exponenten im Term)sind. Hier hast du einmal 1 als Exponent und N+1, es geht also nicht so einfach