Gleichungen Mathe Aufgabe warum +1?
hi ich übe gerade für eine Klausur. Aber ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe:
(x+2)^2 = (x+1) (x-1)
also die linke seite ist ja die erste binomische formel und die rechte die zweite. Also sieht der nächste schritt ja so aus:
x^2+4x+4 = x^2 - 1^2
mit der linken seite hab ich kein problem. Aber auf der rechten seite das -1^2 verwirrt mich. -1 mal -1 ist ja +1? Aber bei den Lösungen und auch Photomath zeigen an, dass dort -1 stehen soll. Kann mir jemand erklären warum? Gehört das minus nicht zur eins? Also wieso ist hier -1 mal -1 nicht +1?
4 Antworten
Die Frage wurde ja schon beantwortet.
Ich wollte nur noch anmerken, dass wenn man den Term -b als ganzes quadrieren würde, wie du erst gedacht hast, also (-b)⋅(-b)=(-b)², dann würde das Minus ja immer wegfallen (Minus mal Minus ist Plus) und dann wäre es doch witzlos, das so zu formulieren.
Wenn es so wäre, dann würde man die 3. bin. Formel doch gleich als
hinschreiben und könnte sich das Minus sparen.
Daran, dass das nicht der Fall ist, kann man sich eigentlich denken, dass dem nicht nicht so sein kann.
Aber es ist sehr gut, dass du diese Frage gestellt hast, weil es nämlich wirklich wichtig ist, dass dir klar ist, in welcher Reihenfolge hier gerechnet wird.
Du bist bei weitem nicht der einzige, der das verwechselt! 😉
PS: Du hättest die Formel auch überprüfen können, indem du konkrete Werte einsetzt.
Am deutlichsten wird es, wenn man den trivialen Fall untersucht, in dem die beiden Variablen in der Formel gleich sind, du in deinem Beispiel also x=1 einsetzt.
Dann hättest du mit deiner Interpretation folgendes dastehen:
Wenn wir die Werte in den Klammern ausrechnen und 1² einfach als 1 schreiben wird daraus:
Links haben wir dann ein Produkt, in dem die Null als Faktor vorkommt und das ist immer Null. Rechts steht 1+1. Er ergibt sich also 0=2, was natürlich falsch ist.
In Wirklichkeit muss auf der rechten Seite 1-1 stehen, womit sich 0=0 ergibt; das korrekte Ergebnis. 😀
Also sieht der nächste schritt ja so aus:
x^2+4x+4 = x^2 - 1^2
Korrekt. Nun kommt die Regel, die die Reihenfolge der Operationen festlegt:
Klammer vor Hochzahl vor Punkt vor Strich.
Entsprechen dieser Regel muss also erst die Hochzahl gerechnet werden und dann ergibt:
1^2 = 1
und erst dann darf das Minuszeichen gerechnet werden.
Also würde das lauten:
x^2+4x+4 = x^2 - 1^2
x^2+4x+4 = x^2 - 1
Anders wäre es, wenn das -1 in Klammer stehen würde:
(-1)^2
dann müsste zuerst das Minuszeichen und danach die Hochzahl berücksichtigt werden und das ergäbe:
x^2+4x+4 = x^2 + (- 1)^2
x^2+4x+4 = x^2 + 1
und wie man sieht, müsste man einen zusätzlichen Operator (Rechenzeichen) einfügen, damit das Sinn ergibt.
Alternativ ergäbe:
x^2+4x+4 = x^2 - (- 1)^2
x^2+4x+4 = x^2 - 1
Binomische Formeln sind einfach Abkürzungen, damit man die Rechnung selbst nicht durchführen muss.
(x+1)(x-1)
Rechne das mal aus, ohne die bin. Formel zu benutzen. Dann wird hoffentlich klar, warum hinten -1² (=+1*(-1) = -1*1) steht.
Die Lösung ist, dass auf der rechten Seite etwas ist, was der dritten binomischen Formel entspricht:
(a+b)*(a-b)=a^2-b^2
Demnach:
(x+1)(x-1)=x^2-1^2=x^2-1
Ja, bei der dritten binomischen Formel wird auf der rechten Seite immer b^2 abgezogen.
okay dankeschön. bedeutet das also, dass bei der dritten binomischen formel die letzte zahl immer negativ sein muss?