Geschwindigkeit in Abhängigkeit vom Weg?

Hallo zusammen,

ich habe ein kleines Problem, bei dem ich Hilfe brauche.

Ich habe einen Gegenstand mit der Masse m (20kg), welcher sich reibungsfrei translatorisch bewegen kann.

Dieser besitzt eine Stirnfläche A (0,15m²) und diese wird frontal mit Luft angeströmt.

Die Geschwindigkeit der Luft beträgt v(max)=86m/s, Cw=1,25, Dichte der Luft ca. 1,225kg/m³

Die Kraft, welche auf den Körper wirkt, ergibt sich aus folgender Formel: 0,5×(Dichte Luft)×Cw×A×(v(max)-v)².

Ich suche nun folgende Funktion: Die Geschwindigkeit v des Gegenstandes in Abhängigkeit des zurückgelegten Weges s des Gegenstandes.

Kann mir hierbei jemand helfen?

Vielen Dank

Answer 1

[mihisu]

Außer der Kraft aufgrund der Luftströmung wirkt keine weitere Kraft auf den Gegenstand? Der Gegenstand ist zu Beginn in Ruhe?

Selbst in diesem Spezialfall ist das nicht ganz einfach zu lösen...

Möglicher Lösungsansatz...

Man hat da nun quasi eine Gleichung der Form...

$\frac{1}{x}+\ln\left(x\right)=c$

... dastehen. Diese Gleichung kann man nicht mit elementaren Funktionen nach x auflösen. Da bräuchte man beispielsweise sowas wie die Lambert-W-Funktion...

https://de.wikipedia.org/wiki/Lambertsche_W-Funktion

... womit man das dann als...

$x=-\frac{1}{W_{k}\left(\text{e}^{-c}\right)}$

... lösen könnte. Im konkreten Fall erhält man dann...

$\frac{v_\text{max}-v(s)}{v_\text{max}}=-\frac{1}{W_{k}\left(\text{e}^{-\left(\frac{\rho_\text{Luft}\cdot c_\text{W}\cdot A}{2\cdot m}\cdot s+1\right)}\right)}$

$\rightarrow\quad v(s)=\left(1+\frac{1}{W_{k}\left(\text{e}^{-\left(\frac{\rho_\text{Luft}\cdot c_\text{W}\cdot A}{2\cdot m}\cdot s+1\right)}\right)}\right)\cdot v_\text{max}$

Für k = -1 erhält man im konkreten Fall den passenden Zweig. (Für k = 0 würde man den Fall mit negativer Geschwindigkeit erhalten.)

============

Umgekehrt, die Gleichung nach s (in Abhängigkeit von v) aufzulösen, wäre weniger problematisch...

$s=\frac{2\cdot m}{\rho_\text{Luft}\cdot c_\text{W}\cdot A}\cdot \left(\frac{v}{v_\text{max}-v}+\ln\left(\frac{v_\text{max}-v}{v_\text{max}}\right)\right)$

Comments

[Lorenz111]

Wow, ok danke. Kein Wunder dass das nicht geklappt hat. Vielen Dank, hat mir sehr geholfen

Answer 2

[TomRichter]

Verstehe ich das richtig: Du hast einen Körper. anfangs in Ruhe, der vom Wind beschleunigt wird?

Das würde ich, da eine geschlossene Lösung - siehe mihisu - sehr aufwendig wird, numerisch mittels Excel-Tabelle lösen. Beispielsweise in 10-ms-Schritten, zunächst v(t) und daraus dann s(t)

Eine Spalte Zeitpunkt, dahinter v(t), berechnet aus v(t-10 ms) und der Beschleunigungskraft.

Eine Spalte s(t), berechnet aus s(t - 10 ms) und v.

Answer 3

[Benutzer29177]

Mein Ansatz wäre erst mal v(t) und s(t) zu bestimmen, dann wäre die gesuchte Funktion v(s)=v(t(s)) wobei t(s) die Inversfunktion von s(t) wäre.

Bin gerade dabei, das tatsächlich zu betimmen

Comments

[Lorenz111]

Merci, halt mich auf dem laufenden. Ich komm einfach auf nichts sinnvolles

[Benutzer29177]

@Lorenz111

Soll ich weiter an meinen Lösungsansatz arbeiten, oder recht dir die Lösung von mihisu

[Lorenz111]

@Benutzer29177

Das reicht mir, aber vielen Dank.

Answer 4

[Viktor1]

Die Kraft, welche auf den Körper wirkt, ergibt sich F=..

Du errechnest einfach die Beschleunigung
a=F/m
und mit der Standartformel
v=sqr(2*a*s) direkt v aus s und a
Wo ist jetzt das Problem ?
Ich sehe dies nur, wenn die abnehmende relative Luftgeschwindigkeit zum Objekt berücksichtigt werden muß. Davon hast du aber Nichts gesagt - oder ist das so gedacht ?

Comments

[Lorenz111]

Das war durchaus so gedacht. Ich habe das nicht direkt geschrieben, es geht aber klar aus der Formel für F hervor.

Ansonsten stimme ich dir zu- kein Problem:)