Geschwindigkeit durch Energiezuwachs berechnen?
Ich weiß, es klingt leicht, jedoch meine ich bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit. Bei dem 0,99973- fachen der Lichtgeschwindigkeit.
Gegeben ist nur diese Anfangsgeschwindigkeit, die Masse des Protons, welches hier beschleunigt wird, seine Anfangsenergie on 40 GeV und die Endenergie von 920 GeV, und gesucht ist seine Geschwindigkeit beim Erreichen dieses Energielevels.
Ich brauche die Geschwindigkeit zum berechnen der relativistischen Masse des Protons beim verlassen des Teilchenbeschleunigers.
Danke für jede Hilfe!
3 Antworten
Hallo OpusKenopus,
gemäß EINSTEINs berühmter Formel
(1.1) E = mc²
sind Masse und Energie physikalisch eigentlich dasselbe, nur in den unterschiedlichen SI- Maßeinheiten Joule und Kilogramm, wobei 9×10¹⁶ J einem kg entspricht. Ist mit m die "relativistische Masse" oder besser Impulsmasse eines Teilchens gemeint, ist E einfach die Ruheenergie E₀ plus der "mitgeschleppten" kinetischen Energie Eₖ, wobei
(1.2) E₀ = m₀c²
und m₀ die Ruhe- oder Eigenmasse des Teilchens ist. Zwischen m und m₀ besteht daher natürlich dieselbe Beziehung wie zwischen E und E₀, nämlich
(2) E⁄E₀ = m⁄m₀ = 1/√{1 − (v⁄c)²} =: γ.
Im Fall des Protons ist natürlich m₀ = mₚ ≈ 1,6726×10⁻²⁷ kg.
Ich brauche die Geschwindigkeit zum berechnen der relativistischen Masse des Protons beim verlassen des Teilchenbeschleunigers.
Nein, brauchst Du nicht, denn Du hast ja schon die Werte von γ, nämlich
(3.1) γᵢₙ = 40 GeV / 0,938 GeV ≈ 42,63
für das eintretende und
(3.2) γₒᵤₜ = 920 GeV / 0,938 GeV ≈ 980,53
für das austretende Proton. Also ist
(4.1) mᵢₙ = γᵢₙ∙mₚ ≈ 42,63∙mₚ ≈ 7,13×10⁻²6 kg
und
(4.2) mₒᵤₜ = γₒᵤₜ∙mₚ ≈ 980,53∙mₚ ≈ 1,64×10⁻²⁴ kg.
Wenn Dich v interessiert, kannst Du natürlich γ nach v auflösen:
(5.1) vᵢₙ = c∙√{1 − (1⁄γᵢₙ)²} ≈ 0,988∙c
(5.1) vₒᵤₜ = c√{1 − (1⁄γₒᵤₜ)²} ≈ 0,9995∙c
So eine ähnliche Aufgabe war schon einmal in einer Abituraufgabe dran.
Dort steht in den Lösungen noch sowas mit E ges und E kin. Davon verstehe ich auch noch was, mit E kin könnte man vermutlich auch dann die Geschwindigkeit ausrechnen, aber es stand oben noch etwas über relativistischen Massezuwachs, ich glaube, da hast Du mehr Ahnung von. Vielleicht hilft es Dir aber...
Ah, ja dann hab ich auch keine Ahnung. Ich könnte in gewisser Zeit mal bekannte Fragen, die wissen da sicher mehr drüber, aber das dauert halt...
Vielleicht finde ich auch die Lösung noch.
Nein, brauchst Du nicht. Du hast doch die Energie. Die "relativistische Masse" eines bewegten Körpers ist einfach seine Ruhemasse plus die Masse seiner "mitgeschleppten" kinetischen Energie,
(1) E⁄c² = (E₀ + Eₖ)⁄c².
Das Tempo v des Körpers kannst Du durch Umformung von
(2.1) E = E₀/√{1 − (v⁄c)²}
nach v
(2.2) v = c√{1− (E₀⁄E)²}
ausrechnen, wenn Du willst. Ist aber nicht sehr ergiebig, denn Du bist ohnehin dicht an c dran.
Naja, die Aufgabe ist die Massen eines Protons beim stillstand, beim Eintritt in einen Teilchenbeschleuniger mit 40 GeV und die Masse beim Verlassen mit 920 GeV zu vergleichen. Als einzig gegebene Formel habe ich m = m0 / √{1 − (v⁄c)²}. Wenn ich also auf die Lichtgeschwindigkeit runde, teile ich durch 0, also muss die exakte geschwindigkeit her.
Trotzdem vielen Dank für deine Antwort, sie hilft wirklich sehr!
da E größer als E0 ist, ist es eine Wurzel einer negativen Zahl. Zu unserem jetzigen Wissensstand können und sollen wir das nicht tun..
vergiss es ich habe beides in MeV umgerechnet. Vielen Dank!
Die Formel entspricht aber
E = E₀ + Eₖ = E₀/√{1 − (v⁄c)²},
und E hast Du ja:40GeV bzw. 920GeV. Das musst Du nur noch durch c² teilen (vorher in J umrechnen, wenn Du die Masse in kg haben willst).
Die exakte Geschwindigkeit kriegst Du durch die Formel
v = c∙√{1 − (v⁄c)²}.
Ja, die brauche ich nicht. Und ja, alles hat geklappt, am liebsten hätte ich dir die hilfreichste Antwort gegeben. Ich habe nur vergessen MeV und GeV in eV umzurechnen, und naja, nur 938,27 ist höher als 920, das war mein Fehler.
Vielen Dank für die Hilfe, ich hätte es bis heute nicht verstanden!
... am liebsten hätte ich dir die hilfreichste Antwort gegeben.
Der Zug scheint noch nicht abgefahren zu sein... 🙂
... und naja, nur 938,27 ist höher als 920, ...
Aber nicht höher als 920000 (es ist ja in MeV). Nur eine Ungewissheit bleibt: Im Text ist von der Energie die Rede; ist damit die gesamte oder nur die zugeführte kinetische Energie gemeint. Bei 920GeV macht das aber kaum einen Unterschied aus.
die gesamte Energie. Die Aufgabe war grundsätzlich die Massen zu vergleichen und gegeben war nur die Gesamtenergien der verschiedenen Zeitpunkte (40 GeV beim Eintritt und 920 GeV beim verlassen des Beschleunigers), und die Ruheenergie. Das umstellen der von dir gegebenen Formel E = E₀/√{1 − (v⁄c)²} nach V und das Einsetzen von V in m = m₀/√{1 − (v⁄c)²} war die Lösung. Leider hast du keine Antwort gegeben sondern nur nen Kommentar verfasst, den kann ich leider nicht bewerten..
Das umstellen der von dir gegebenen Formel E = E₀/√{1 − (v⁄c)²} nach v und das Einsetzen von V in m = m₀/√{1 − (v⁄c)²} war die Lösung.
Über v zu gehen ist nicht wirklich die Lösung, wenn man nur die Impulsmasse wissen will, sondern ein Umweg, der unnötig zu mehr Ungenauigkeit führt:
Bei der Berechnung von v wird im Zweifelsfall gerundet, und bei der Rückberechnung des LORENTZ- Faktors
γ := 1/√{1 − (v⁄c)²}
ebenfalls. Wenn Du nicht explizit v wissen willst, brauchst Du v wirklich nicht, denn γ hast Du schon, nämlich E⁄E₀.
Leider hast du keine Antwort gegeben…
Doch, hab' ich. Da steht nur nichts mit v.
…sondern nur nen Kommentar verfasst, den kann ich leider nicht bewerten.
Dass Du einen Kommentar nicht bewerten kannst (außer mit einem Like) ist mir klar. Wenn es Dir weiterhilft, schreibe ich das mit dem v in die Antwort.
Habe meine Antwort noch einmal überarbeitet, so wie ich sie haben wollte.
Ich brauche die Geschwindigkeit zum berechnen der relativistischen Masse des Protons beim verlassen des Teilchenbeschleunigers
brauchst du nicht. "relativistische masse" ist nur eine anderer name für "energie geteilt durch eine konstante" (deshalb verwendet ja in der wissenschaft seit hundert jahren niemand den begriff "relativistische masse", aber das ist ein anderes thema...). du kennst die energie, also hast du alles was du brauchst.
falls du wirklich die geschwindigkeit suchen solltest, die ist
v=c*Wurzel(1 - (mc²/E)² )
grundsätzlich ja, jedoch ist die Masse ja nicht mehr gleich die Ruhemasse, und um die relativistische Masse herauszufinden, brauche ich wieder die Geschwindigkeit..