f(x)=ax^2+c wie finde ich a heraus?
Ich brauche da mal Hilfe bei einer Matheaufgabe:
Hab das Bild mal angehangen, kann mir jemand erklären wie ich bei dem Graphen (D) a herausfinde? oder allgemein bei solchen aufgaben a herausfinde.
Und hab ich es richtig verstanden das die Funktionsgleichung die man herausfinden soll f(x)=ax^2+c lauten muss
?
6 Antworten
Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion (Parabel) lautet:
f(x)=ax²+bx+c
Fehlt das bx, dann ist die Parabel "nur" auf der y-Achse verschoben (wie hier z. B. Graph (C), d. h. hier ist b=0). Alle anderen Graphen sind (zudem) in x-Richtung verschoben, bzw. (B) nur auf der x-Achse - dort ist c=0.
Da Du 3 unbekannte Parameter hast (a, b und c) brauchst Du "theoretisch" 3 Punkte, um so über ein Gleichungssystem diese Unbekannten ermitteln zu können.
Evtl. kann man den Schnittpunkt mit der y-Achse ablesen, das wäre dann schon einmal das c. Das kann man hier aber nur eindeutig bei (C) erkennen.
Bei (D) kannst Du den Scheitelpunkt eindeutig ablesen S(2|-1).
Neben der oben genannten allgemeinen Gleichung gibt es noch die sogenannte "Scheitelpunktform": f(x)=a(x-d)²+e, mit Scheitelpunkt bei S(d|e). Setzt Du die Werte für d und e ein, erhältst Du: f(x)=a(x-2)²-1. Jetzt noch einen weiteren Punkt einsetzen, am Besten eine der Nullstellen, und das a ausrechnen.
Gehst Du vom Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts und eine nach oben/unten und landest wieder auf der Parabel, dann handelt es sich um eine verschobene "Normalparabel", und bei dieser ist das a=1 (bzw. a=-1, wenns nach unten geht).
Dann gibt es noch die "Nullstellenform": f(x)=a * (x-Nullstelle1) * (x-Nullstelle2).
D. h.: kennst Du die Nullstellen (wie bei (D) ), dann kannst Du auch hiermit auf die Funktion kommen. Bei (D) sind die Nullstellen bei x=1 und x=3, also: f(x)=a(x-1)(x-3). Jetzt noch a ermitteln (allgemein mit weiterem Punkt; hier ist a=1) und evtl. die Klammer noch ausmultiplizieren, um die allgemeine Form zu erhalten.
Das ist die Hauptformel.
f(x)=a*x²+c
f(x)=0 (um die Nullstelle zu finden)
a=Steigungsgeschwindigkeit und -richtung (wenn es negativ ist)
c= Verschiebung des Graphen im Koordinatensystem.
du guckst, wo die nullstellen sind (x = 1, x = 3), und stellst dann (x - x1) * (x - x2) auf, also in diesem fall f(x) = (x - 1) * (x - 3) = x^2 - 3x - 1x +3 = x^2 -4x + 3
Bei D lautet die Gleichung: f(x)=a(x-c)°2+d
(Das °2 lautet hoch zwei)
Erst musst du c bestimmen, das siehst du an der Verschiebung an der x-Achse. Der Ursprung ist bei U(2|-1) also ist es auf der x-Achse um zwei nach rechts verschoben -> c=-2.
Dann setzt du einen beliebigen Punkt ein, z.B. P(0|3) und zum Schluss brauchst du Buchstaben 'd' welcher die Verschiebung auf y-Achse beschreibt, dieser beträgt d=-1 weil die Funktion um -1 nach unten verschoben wird und bei y=-1 beginnt.
Also:
F(x)=a(x-c)°2+d // jetzt setzt man die Werte ein
3=a(0+2)°2-1
Jetzt gleichst du die Gleichung aus und dann sollte rauskommen:
0=a
Wenn du die Funktionsgleichung bestimmen willst musst du nur d,a und c herausfinden und diese einsetzen.
F(x)=(x-2)°2-1
Der Graph D ist wohl der grüne.
a erkennt man sofort, denn vom Scheitelpunkt aus ist für 1 in x-Richtung auch 1 in y-Richtung gegeben. Da nur 1² = 1 ist, haben wir a = 1
S ist (2|-1)
Daher D(x) = (x - 2)² - 1