Extremwertaufgabe, Teil 2?

Aufgabenstellung  - (Schule, Mathematik, Extremwertaufgaben)

8 Antworten

siehst du, mit Skizze ergibt das ganze nun einen Sinn

Deine Begrenzungsparabel verstehe ich nicht.
diese sollte ja durch die Punkte (40;120) und (80;60) gehen...

Ansonsten liegt eine Eckpunkt immer auf dem Funktion, der gegenüberliegende Eckpunkt ist 0;0
Also die Fläche A soll maximal werden
A = x * y

Nebenbedingung ist f(x)

und es gibt die Grenze
0 < x < 80

Hallo,

wenn DU einfach nur x*f(x) maximierst, kommst Du nie auf ein anständiges Ergebnis, weil die Fläche unterhalb des Scheitelpunktes unendlich groß ist.

Du mußt die Grenzen des Blechs berücksichtigen.

Am einfachsten ist es, x*(f(x)-60) zu maximieren und zum Ergebnis später das Rechteck x*60 zu addieren, um die Maße des Rechtecks zu bekommen.

Wenn Du nämlich 60 vom Funktionswert abziehst, ist es so, als läge der Scheitelpunkt auf der x-Achse.

Erst dann kannst Du vernünftige Werte bekommen.

Herzliche Grüße,

Willy

Allerdings mußt Du auch noch die obere Grenze des Blechs berücksichtigen.

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Hallo,

Du mußt an die Aufgabe ganz anders herangehen, da das Stück Blech begrenzt ist.

Zunächst einmal stellst Du die Funktionsgleichung auf, am besten über die Scheitelpunktform, da der Scheitelpunkt (80|60) bekannt ist:

f(x)=a*(x-80)²+60

a berechnest Du, indem Du einen anderen bekannten Punkt der Funktion einsetzt, etwa (40|120).

a*(40-80)²+60=120

1600a=60

a=60/1600=3/80

Die Funktionsgleichung lautet daher f(x)=(3/80)*(x-80)²+60

Die kannst Du nicht einfach nach dem Motto: Rechteck=x*f(x) maximieren, weil die Funktion das Rechteck nur zwischen x=40 und x=80 begrenzt.

Für x>80 ist die Sache nicht berechenbar, weil das Blech da zu Ende ist und für x<40 ist die obere Grenze die Gerade y=120 und nicht f(x).

Du rechnest also erst einmal den Flächeninhalt an den Rändern aus.

Der ist entweder 40*120=4800 oder 80*60=4800.

Die Frage ist nun nur noch, ob das bereits das Maximum ist oder ob da noch mehr geht.

Du stellst also folgende Gleichung auf:

x*f(x)-4800=0

Da bekommst Du drei Nullstellen heraus: x=40 und x=80, was klar ist; aber auch x=3/80.

Mit x=3/80 bekämst Du natürlich nur dann einen Flächeninhalt von 4800 FE, wenn das Blech dort tatsächlich bis f(3/80) ginge, was nicht der Fall ist.

Die Fläche für ein Rechteck an dieser Stelle wäre 3/80 *120 - und das ist deutlich weniger als 4800.

Wenn es also irgendwo einen höheren Wert geben kann, dann nur zwischen x=40 und x=80.

Da die anderen Nullstellen für x*f(x)-4800 bei x=40 und x=80 liegen, ist nur noch interessant, ob die Werte dazwischen oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen.

Da es zwischen 40 und 80 keine Nullstelle gibt und die Funktion stetig ist, müssen alle Werte dazwischen entweder über der x-Achse liegen oder unter der x-Achse.

Es reicht also, irgendeinen Wert zwischen 40 und 80, wie etwa x=50 einzusetzen:

50*((3/80)*(50-80)²+60)-4800=-112,5.

Die Nullstellen liegen also über den Funktionswerten dazwischen, was wiederum bedeutet, daß Du nicht mehr als 4800 FE herausschneiden kannst.

Herzliche Grüße,

Willy

Die Funktion der Fläche ist:

F=a*b;

a ist die Breite, b ist die dazugehörige Höhe.

b berechnet sich in abhängigkeit von a folgendermaßen:

b=a<40:120 | a>=40:120-f(?);

Was das Fragezeichen ist, weiß ich selbst nicht, da ich nicht verstehe, wie genau die parabell verschoben ist...

Wenn du dann die Funktion F für die Fläche hast, berechnest du die Maxima, für den Teil <40 und für den Teil >=40 separat...Das größere von beiden ist die Lösung...

Die parabellgleichung ist übrigens falsch, denn f(40)=390!=120...

Das war mein Problem...

Es gilt also für b>=40:f(a); Wenn du f richtig berechnest...

f(x)=a*(x-80)²+60;

120=a*(40-80)²+60;<-60

60=a*40²;|/40²

a=0,0375;

Du hast anscheinend nur eine 0 vergessen...

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Ja das stimmt, da habe ich einen Abtippfehler gemacht... die Funktionsgleichung der Parabel lautet also f(x)=0,0375(x-80)^2+60 und die endgültige Gleichung f(x)=0,0375x^2-60x+300 ?

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@Destranix

man muss halt in cm statt in mm rechnen...Sieht man ja anhand der Skizze. Dann stimmt die Gleichung auch.

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@michiwien22

An der Skizze sind keine Einheitsangaben zu finden, weshalb ich von Längeneinheiten ausgehe...

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Wenn a die Breite und b die Höhe des Rechtecks in dem Koordinatensystem mit Ursprung links unten ist, dann ist seine Fläche

A(a,b) = a*b

Es muss aber

f(a) = b

sein, wobei f(x) die Gleichung der Parabel ist.

Somit lautet die Aufgabe

a * f(a) --> max

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