Kann mir jemand bei dieser Extremwertaufgabe helfen bitte?
Die Parabel hat die Funktion: f(x) = -x^2 + 4.
die Aufgabe lautet : Welche Fläche besitzt das unter der Parabel größtmögliche mit der x-Achse einbeschriebene Rechteck?
5 Antworten
Ein Rechteck wird durch 2 Seiten beschrieben.
Wie lang ist die eine Seite? ------ 2x
wie lang ist die andere Seite? ------- f(x)
welchen Inhalt hat das Rechteck? ----- Seite mal Seite, also hier = 2x mal f(x) oder eben
-2x^3 + 8x =Inhalt(x)
Wie weiter? ---- Maximum von Inhalt(x) bestimmen.
Wie? ---- ableiten, gibt zu untersuchen
-6x^2 + 8 = 0
ausrechnen, damit hat man das x gefunden, kann Inhalt berechnen, fertig. (so im groben der Weg)
Die Länge der Seite auf der x-Achse hängt direkt mit dem "x" zusammen -und da die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, ergibt sich eben "2x" als Länge. Zur Verdeutlichung hilft die Skizze natürlich ungemein. Und die andere Seitenlänge muss man nicht ablesen, die ist (viel genauer) durch "f(x) gegeben."
wie lang die Seite ist kann man aus der Zeichnung ablesen oder ?
1) A=a*b=y*x=f(x)*x mit x=0 und x>0 "rechte Seite"
2) f(x)=-1*x^2+4
2 in 1
A(x)=(-x^2+4)*x=-x^3+4*x
nun eine Kurvendiskussion durchführen,Extrema bestimmen
abgeleitet A´(x)=0=-3*x^2+4 Nullstellen bei x1,2=+/-Wurzel(-4/-3)=+/- 1,1547..
noch mal abgeleitet A´´(x)=-6*x ergibt x1=-6*1,1547=-6,928 <0 also "Maximum"
f(1,15..)=-1*1,1547^2+4=2,666...
a=x2-x1=1,1547-(-1,1547)=2,3094
A=a*b=2,3094*2,666=6,15 FE (Flächeneinheiten)
gößtmögl. halbe Rechteck berechnen und dann nachher die Fläche mal 2 nehmen;
Breite ist x und Höhe ist -x²+4
also Fläche =
F = x(-x²+4) = -x³+4x
ableiten
-3x² +4 = 0
x = ± wurzel (4/3)
x= 1,15 (Breite)
Höhe = -1,15³ + 4•1,15 =........
dann F = B • H
dann 2 • F
weil ich die max. Fläche des halben Rechtecks berechnet habe, weil die Rechnung dann einfacher ist.
Weil die Parabel symmetrisch zur Y-Achse ist, also f(-x)=f(x).
Vielen Dank für die schnelle Antwort !in der obigen Antwort steht, dass die breite 2x ist woher weiß man das denn ?
ich habe die max. Fläche des halben Rechtecks zunächst berechnet und die Breite x genannt; in der obigen Antwort ist das ganze Rechteck berechnet worden und die Breite also 2x genannt; du kannst die Breite auch 2a nennen und die Höhe dann f(2a)
Die 2x kann man doch aus der zeichnung ablesen ( von -1 bis 1) oder ? weil ich kann mir nämlich nicht erklären wie man sonst auf die 2x kommt .
die -1 und +1 kann man als Breite des Rechtecks nicht nehmen (dann wäre die Rechtecksseite ja 2), weil man es eben nicht genau ablesen kann; deshalb musst du als Breite 2x bzw beim halben Rechteck x nehmen.
Versuche es mal mit eigenen Ansätzen, dann helfen wir Dir auch weiter!
Tipp: Überlege dir, wie Du den Flächeninhalt berechnest und von welcher Größe er abhängt. Stelle dann eine Formel A(x) auf und finde den Wert für x, bei dem A(x) maximal wird. Dann entweder quadratisch ergänzen oder ableiten, je nachdem was Du schon kannst kann man mit beiden Methoden den Maximalwert ausrechnen (Ableitung macht man in der Oberstufe...).
Ich habe es auch so gerechnet, das ich zuerst die rechte Hälfte der Gesamtfläche formuliert habe:
Also ich verstehe nicht genau wie du auf die 2x kommst ://