Matheaufgabe Extremwertprobleme?
Hallo, ich habe eine Aufgabe zu dem oben genannten Thema und ich weiß nicht weiter. Ich habe schon einges probiert aber es war immer falsch. Kann mir jemand es erklären?
Die Aufgabe:
Gegeben sind die Funktionen f(x) = -x² + 2 und g(x) = 2x² - 10. In die von beiden Graphen begrenzte Fläche wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass die Rechteckseiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Wie müssen diese gewählt werden, damit das Rechteck maximalen Flächeninhalt besitzt?
Noch ne Frage: Wie kommt man darauf, dass a = 2u und b = g(u) - f(u) sind?
5 Antworten
Betrachte dir die Grafik.
Fläche eines Rechtecks ist ja a * b. Mit a=2u und b=g(u)-f(u) kommst du zu der Zielfunktion
A(u)=2u*(g(u)-f(u))
Maximum über erste Ableitung auf Null setzen und nach u auflösen.
@mxchxlix03
Schau dir die Grafik an, das geht daraus hervor, ist dort ja sogar drangeschrieben.
Noch ne Frage: Wie kommst du darauf, dass a = 2u und b = g(u) - f(u) sind?
Zuerst eine zeichnung machen und beide Graphen mit dem Rechteck zeichnen.
Schnittpunkte f(x)=g(x)
-1*x²+2=2*x²-10
Ps1(-2/-2) und Ps2(2/-2)
Das Ganze liegt achssymetrisch zur y-Achse.
Wir verschieben das Ganze um 2 Einheiten auf der y-Achse nach oben,so liegen dann doe beiden Schnittpunkte auf der x-Achse
also f(x)=-1*x²+2+2=-1*x²+4 und g(x)=2-x²-10+2=2*x²-8
Probe: f(-2)=-1*(-2)²+4=-4+4=0 und g(-2)=2*(-2)²-8=2*4-8=0
1) A=a*b ist die Hauptgleichung (Hauptbedingung)
2) a=f(x)+Betrag(g(x) ist die linke Seite des Rechtecks
3) b=-2-x ist die untere Seite der Rechtecks
eingesetz
A(x)=(f(x)-g(x))*(-2-x) hinweis g(x)=negativ und deshalb minus*g(x) somit wird g(x) zu f(x) addiert
einsetzen und ausrechnen ergibt dann
A(x)=....
nun eine Kurvendiskussion durchführen und die Extrema bestimmen.
A´(x)=0=...
A´´(x)=.... prüfen.ob ein Maximum oder Minimum vorliegt
um sicher zu gehen noch das Ergebnis mit Proberechnungen prüfen.
Die Aufgabe werde ich in meinen Unterlagen aufnehmen.
Der Arbeitsaufwand ist aber hier so aufwendig,dass ist das in Ruhe machen muß.
Tipp: Kannst auch das Ganze auf Millimeterpapier aufzeichen und dann den maximalen Flächeninhalt zeichnerisch ermitteln,dann weißt du auf jeden Fall,wo das Maximum ungefähr sein muß.
machst du ne Skizze und betrachtest nur die rechte Hälfte des Rechtecks;
A = x • (f(x) - g(x)) bilden; dann ableiten , =0 usw
Wie wärs mit:
A(x) = x * (f(x) - g(x)) → Max.
Hab eine Stunde hart gearbeitet und die Aufgabe gelöst und in meinen Unterlagen aufgenommen.
Hier die Lösung per Bild,was du vergrößern kannst oder auch herunterladen.
