Hilfe Mathearbeit? Parabel, quadratische Gleichungen!

1 Antwort

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Ich glaube, du hast einfach "nur" Angst.

Verständlich, wenn man vor Problemen steht. Dennoch must du versuchen, ohne Angst, sondern besser mit Interesse an solche Aufgaben heranzugehen.

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Nehmen wir mal die erste deiner Aufgaben:

eine seite eines rechteckes ist um 6 cm länger als eine andere das rechteck besitzt einen flächeninhalt von 1216 cm² wie lang ist die rechteckseiten?

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Was mir schon gleich auffällt ist die nicht vorhandene Zeichensetzung, die Kleinschreiberei und der grammatikalische Fehler in: "Wie lang ist die Rechteckseiten?"

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Dies alles lässt auf eine gewisse, entschuldige bitte, Schludrigkeit schließen. Eine solche Einstellung aber ist "gefährlich", wenn es um Mathematik geht. Hier muss man einfach sauber arbeiten.

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So, nun aber an die Arbeit:

Es geht um ein Rechteck, dessen Seitenlängen berechnet werden sollen.

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Was weißt du über ein Rechteck?

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Ein Rechteck hat vier Seiten, von denen je zwei gegenüberliegene gleich lang sind. Es können auch alle vier Seiten gleich lang sein, dann hat man ein Quadrat. Das aber scheidet hier aus, weil in der Aufgabe gesagt wird, dass eine Seite des Rechteckes 6 cm länger sein soll, als die andere.

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Es geht also um ein "echtes" Rechteck und du sollst die Längen der beiden verschieden langen Seiten berechnen..

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Da du beide nicht kennst, musst du Variablen verwenden. Nimm dazu nicht x und y, sondern aussagekräftige Variablenbezeichnungen, etwa "kurz" und "lang" (das kannst du auch mit "k" und "l" abkürzen).

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So, der Flächeninhalt des Rechteckes ist gegeben, er soll 1216 cm ^ 2 betragen.

Was kannst du nun aus dieser Angabe für die Variablen "kurz" und "lang" entnehmen?.

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Nun, du weißt sicher, dass man den Flächeninhalt eines Rechteckes berechnet, indem man die Länge der kurzen Seite mit der Länge der langen Seite multipliziert.

Also weißt du doch jetzt schon einmal, dass

kurz * lang = 1216

sein muss.

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Außerdem wird in der Aufgabe gesagt, dass eine Seite des Rechteckes 6 cm länger sein soll als die andere.

Was bedeutet das?

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Nun, ganz einfach: Der Wert der Variablen "lang" muss 6 cm größer sein, als der Wert der Variablen "kurz",

also

lang = kurz + 6

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So, nun hast du alle in der Aufgabenstellung verfügbaren Informationen in mathematische Gleichungen "übersetzt".

Soooo schwierig war das doch nicht, oder?

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Nun geht's an die Lösung.

Ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen soll gelöst werden.

Das Gleichungssystem ist:

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kurz * lang = 1216

lang = kurz + 6

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Jede der Variablen muss in beiden Gleichungen jeweils denselben Wert haben. Also kannst du den Ausdruck

kurz + 6

der ja gleich "lang" sein soll, für "lang" in die erste Gleichung einsetzen. Das ergibt:

kurz * ( kurz + 6 ) = 1216

Das ist nun nur noch **eine* Gleichung mit einer Variablen, deren Wert berechnet werden kann:

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kurz * ( kurz + 6 ) = 1216

<=> kurz ^ 2 + kurz * 6 = 1216

<=> kurz ^ 2 + 6 * kurz - 1216 = 0

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Eine quadratische Gleichung also, die wir lösen müssen.

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Ich mache das immer gerne mit der quadratischen Ergänzung, du kannst aber auch die p-q-Formel anwenden, wenn du sie kennst und verstanden hast.

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Die quadratische Ergänzung ist vorliegend 9

( ( 6 * kurz / ( 2 * kurz ) ) ^ 2

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Diese wird zu der linken Seite der Gleichung addiert und gleich wieder subtrahiert:

<=> kurz ^ 2 + 6 * kurz + 9 - 9 - 1216 = 0

.

Nun kann man die erste binomische Formel "rückwärts" anwenden (das ist der Sinn der Berechnung mit der quadratischen Ergänzung) und erhält:

<=> ( kurz + 3 ) ^ 2 - 9 - 1216 = 0

<=> ( kurz + 3 ) ^ 2 = 1225

<=> kurz + 3 = +/- 2.Wurzel ( 1225 )

<=> kurz = +/- 2.Wurzel (1225 ) - 3

<=> kurz = 35 - 3 ODER kurz = - 35 - 3

<=> kurz = 32 ODER kurz = - 38

.

Nun, die negative Lösung kurz = - 32 kann man ausschließen, da Rechteckseiten nur positive Längen haben können.

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Zwischenergebnis: Die Länge der kurzen Seite des Rechteckes beträgt 32 cm.

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Diesen Wert setzt man nun in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen (siehe ganz oben) ein. Ich nehme natürlich die einfachere der beiden, also

lang = kurz + 6

setzte für "kurz" die soeben berechneten 32 cm ein und erhalte:

lang = 32 + 6 = 38

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Die Länge der langen Seite des Rechteckes beträgt also 38 cm.

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Probe (Berechnung des Flächeninhaltes eines Rechteckes mit den soeben berechneten Seitenlängen):

32 * 38 = 1216

Das ist gerade der in der Aufgabe geforderte Flächeninhalt. Die Berechnungen waren also "höchstwahrscheinlich" korrekt.

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Damit ist die Aufgabe gelöst.

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War das nun wirklich so schwierig?

Kleine Anmerkungen:

  • "l" (ell) als Variable ist "gefährlich", weil man's mit "1" (eins) verwechselt - ich habe selber Prüfungen abgehalten, ich weiß das ...

  • Das Gleichungssystem ist eben nicht linear - daher muss man eine quadratische Gleichung lösen.

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