Alternative Beschreibung Bildraum?

Sei f eine lineare Abbildung, b ein Element des Bildraumes von f, sowie x eine Lösung der Gleichung f(x) =b. Finde eine alternative Beschreibung der Menge aller y aus dem Definitionsbereich von f, für welche f(x+y) =b gilt

Alternative Beschreibung. Würde einfach sagen "Lösungsmenge" oder "Wertebereich" was ist damit gemeint=?

Answer 1

[poseidon42]

Aufgrund der Linearität gilt

$f\left(x\ +\ y\right)\ =\ f\left(x\right)\ +\ f\left(y\right)$ Damit folgt für die angegebene Gleichung

$f\left(x\ +\ y\right)\ =\ b\ \ \text{}\Rightarrow\ f\left(x\right)\ +\ f\left(y\right)\ =\ b$ Ein wenig Algebra führt dann sofort zu

$f\left(y\right)\ =\ b\ -\ f\left(x\right)\ =\ 0$ nach Voraussetzung. Somit folgt:

$\left\{y\ \in\left\{\ z\ \in dom\left(f\right)\ \right|\ \ f\left(z\right)\ =\ 0\ \right\}$

Es handelt sich also ker(f), dem Kern der Abbildung f.

Comments

[Jensek81]

Danke, Poseidon!

Was bedeutet "dom"? Laut Internet "domaine" in Beziehungen, also dominiert hier z über y?

[Graycode]

@Jensek81

mit Dom ist der Definitionsbereich der Abbildung gemeint

Answer 2

[Graycode]

Hmm ich erkenne grade auch nicht ganz was die da bezwecken wollen. Lösungsmenge könnte man ja bereits zu allen x sagen welche f(x)=b erfüllen, mit b aus dem Bildraum. Ist zu der Aufgabenstellung sonst noch etwas gegeben? Ist es auf irgendwelche Mengen/Körper eingeschränkt etc?

Comments

[Jensek81]

Hab mal oben die Aufgabe im Wortlaut eingefügt!