Das Bild von einer Menge?
Kann mir jemand helfen bei der Abbildung dieser menge?
Sei g: R x R --->R, (x,y) ---> x
Wie bestimme ich das Urbild von {12}? Das ist schon eine Menge und kein element?! Kann man das so schreiben: {12} ---> ({12}, {y}) ? irgendwie verstehe ich das nicht
1 Antwort
Wenn A eine Teilmenge des Definitionsbereichs einer Funktion f ist, dann ist
Also zum Beispiel wenn f: R -->R gegeben durch x --> 2x ist und
A = {1,2,3}, dann ist
f(A) = {f(1), f(2), f(3)} = {2,4,6}.
In deinem Fall ergibt der Ausdruck g({12}) allerdings keinen Sinn, weil {12} keine Teilmenge des Definitionsbereichs von g ist [anders ausgedrückt: g(12) ist nicht definiert].
Wenn f: X --> Y eine Abbildung ist und B eine Teilmenge vom Bildbereich Y, dann ist das Urbild von B definiert durch:
f^(-1)(B) := {x ∈ X | f(x) ∈ B} [leider kann man LaTeX nur in Antworten und nicht in Kommentaren verwenden, deswegen ist das hier nicht so schön formatiert].
Wenn z.B. f: R --> R ist mit x --> x² und B := {1,4}, dann ist
f^(-1)(B) = {1, -1, 2, -2}, denn:
f(-1) = f(1) = 1 ∈ B,
f(-2) = f(2) = 4 ∈ B,
und alle anderen x ∈ R werden nicht auf 1 oder 4 abgebildet.
Du musst also gucken, welche Elemente durch g auf ein Element in {12} abgebildet werden.
MagicallGrill könntest du mir viellt noch was anderes erklären?
Ich habe hier diese Frage gestellt:
https://www.gutefrage.net/frage/kann-man-da-so-beweisen#comment-319448050
Bin schon seit über 2 Stunden stecken geblieben, weil ich Die Definition der Surjektivität für die diese Aufgabe nicht anwenden kann. ich verstehe einfach nicht wie ich es formal richtig beweisen soll, weil ich durcheinander komme. könntest du mir viellt erklären wie ich die Definition nutze um das zu beweisen?
Surjektivität funktionert wie folgt:
Sei f: A ---> B eine Abbildung.
Jetzt spielen wir ein Spiel. Ich nenne dir irgendein b ∈ B. Dann musst du mir ein a∈A nennen, sodass f(a) = b gilt. Das ganze wiederholen wir so lange, bis wir keine Lust mehr haben (ok, dieser letzte Teil ist nicht mathematisch korrekt, aber für die Anschauung tun wir mal so als ob).
Du gewinnst, wenn du mir zu jedem b ∈ B ein passendes a ∈ A finden konntest.
Ich gewinne, wenn dir das bei einem b ∈ B nicht gelungen ist.
Die Abbildung ist surjektiv, wenn du das Spiel immer gewinnen kannst.
Nehmen wir uns mal ein Beispiel:
Sei f: R --> R mit f(x) = 2x.
Ich nenne dir b = 8. Dann kannst du mit a = 4 antworten, denn f(4) = 8.
Ich nenne dir b = 3. Dann antwortest du a = 1,5.
Ich nenne dir b = 1,5. Dann antwortest du a = 0,75.
usw...
Ganz allgemein: Wenn ich dir irgendeine beliebige reelle Zahl b∈R nenne, kannst du einfach mit a = b/2 antworten, denn dann gilt f(a) = 2 * a = 2 * (b/2) = b. Ergo kannst du das Spiel immer gewinnen und die Abbildung ist surjektiv.
Wenn wir hingegen g: R --> R mit g(x) = x² haben, kann ich das Spiel ganz einfach gewinnen: Ich wähle b = -1. Weil das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann, gibt es kein a mit g(a) = -1 und ich hab gewonnen. Die Abbildung ist nicht surjektiv.
Bei deiner Aufgabe musst du dich also fragen:
"Wenn mir MagicalGrill ein b∈ R vorgibt, kann ich dann ein a∈ R x R finden, sodass g(a) = b gilt?" Beachte, dass a hier ein Paar sein muss. D.h. wir können die Frage auch formulieren als:
Gibt es dann x,y∈R mit g(x,y) = b?
Lass dann mit deinem Beispiel f: R --> R mit f(a) = 2a fortfahren.
a ist ein beliebiger Element aus R und b ist auch ein beliebiger Element aus R.
Wir möchten also zeigen, dass für jedes b aus R immer einen a aus R gibt.
Du hast also b aus R genommen und gesagt. dass b=2a ist. Dann hast du nach a umgeformt und erhalten dass a=b/2 ist. Bedeutet das, dass irgend ein b ist nur das 2-fache a ist? Und a ist nur das Hälfte von b?
Dann setzt du das in die Gleichung f(a) = 2a ein: f(b/2)=2a also 2(b/2)=2(b/2) also b=b. Das wäre dann surjektiv.
Aber in meiner Aufgabe funktioniert das nicht so wo ich einfach umformen kann. Ich bin nur noch wütend, weiß aber nicht auf was, entweder ist die Aufgabe so dumm oder ich bin einfach der dümmste auf Erden.
Also die Aufgabe ist ja:
Sei g: RxR ---> R, (x,y) ---> x
Ich gehe also alle Schritte so, wie du oben gesagt hast.
Es müsste also so heißen: für alle z aus R, muss (x,y) aus RxR geben, sodass f(x,y)=z ist.
Ich nehme also ein beliebiges z raus. Und es ist ja dass z=f(x,y) und da f(x,y)=x ist müsste z=x sein. Ok z ist jetzt schonmal bekannt. Jetzt suche ich (x,y) bzw. was ist (x,y)? Mit was ist es gleichzusetzen und wie kann ich das hier umformen? das geht nicht, denn das ist nicht so wie oben wo b=2a und a=b/2. Warum verstehe ich das nicht
Im Prinzip hast du die Aufgabe schon gelöst, du siehst es nur noch nicht ;)
Spielen wir das Spiel für ein paar konkrete Zahlen:
Ich gebe dir b = 8. Ich hätte von dir jetzt gerne konkrete Zahlen für x und y, sodass
g(x,y) = 8 gilt. Also sowas wie:
x = 3 und y = 10 [abgesehen davon, dass diese Zahlen die obige Gleichung nicht erfüllen]
Dasselbe hätte ich gerne für b = 5, b = -3 und b = 0.
Und wenn du das geschafft hast, kannst du dir überlegen, wie man für ein allgemeines b die Zahlen x und y wählen kann, sodass g(x,y) = b gilt.
Also da g(x,y)=x ist, ist g(8,y)=8 und g(5,y)=5 und g(-3,y)=-3 und g(0,y)=0 ?
Kann man es so argumentieren: Da z=x ist und f(x,y)=z ist, folgt, dass f(x,y)=x wahr ist und deshalb ist es surjektiv?
Also da g(x,y)=x ist, ist g(8,y)=8 und g(5,y)=5 und g(-3,y)=-3 und g(0,y)=0 ?
ok, aber ich hab ja nach konkreten Zahlen gefragt. Das y ist ja keine konkrete Zahl.
Gib mir ein konkretes Beispiel für ein Paar (x,y) mit g(x,y) = 8.
z.B g(8,1)=8 oder g(8,2)=8 meinst du sowas? Also dass ich für y konkrete Zahlen einsetze? Also y ist dann eigentlich egal, weil es in z nicht abgebildet wird? Also y kann irgendein Zahl aus R sein
Genau. Im Sinne des Spiels:
Wenn b = 8 ist, wähle x = 8 und y = 1, dann gilt g(x,y) = g(8,1) = 8 = b.
Wenn b = 5 ist, wähle x = 5 und y = 2, dann gilt g(x,y) = g(5,2) = 5 = b.
Wenn b = -3 ist, wähle x = -3 und y = 1, dann gilt g(x,y) = ... = b.
Wenn b ∈ R beliebig ist, wähle x = ? und y = ?, dann gilt g(x,y) = ... = b.
Wenn du jetzt die Fragezeichen durch geeignete Werte ersetzt, hast du gezeigt, dass es für jedes beliebige b ∈ R ein Paar (x,y) gibt, sodass g(x,y) = b gilt und somit Surjektivität bewiesen.
Wenn b ∈ R beliebig ist, dann ist x=R und y=R. Also allgemein ist es doch g(R,R)=R?
Nein, x und y müssen nach wie vor reelle Zahlen sein und keine Mengen.
b ∈ R beliebig heißt ja nur, dass b irgendeine (feste) reelle Zahl ist. b ist nicht "alle Zahlen".
Genauso wie wir Lösungen für die Gleichungen g(x,y) = 8 und g(x,y) = 5 gefunden haben, möchte ich eben, dass du eine Lösung für die Gleichung g(x,y) = b findest, für einen festen Parameter b.
Achso stimmt R ist ja die ganze Menge.
Dann müsste es doch so sein g(x,y)=b mit x=b und b,y ∈ R, oder ?
Korrekt!
Formal könnte man den Beweis für Surjektivität wie folgt aufschreiben:
Sei b ∈ R beliebig. Wähle x := b und y := 0 [oder meinetwegen auch y ∈ R beliebig]. Dann gilt: g(x,y) = g(b,0) = b [bzw. g(x,y) = g(b,y) = b].
Da b ∈ R beliebig war, ist g somit surjektiv.
Ok danke sehr, zwar kann ich die Aufgabe nicht mehr abgeben, aber wenigstens verstanden:D
Kannst du vielleicht irgendeine Literatur empfehlen fürs Anfang? Aber keine schwere. Oder wäre das nicht so hilfreich als eine Vorlesung?
Prinzipiell wär es schon hilfreich, ein gutes Lehrbuch neben der Vorlesung zu lesen. Das Problem ist, dass ich das ausgerechnet für Mathe nie gemacht hab 😅 Ich würde einfach mal hier auf gf ne neue Frage dafür reinstellen - andere User haben da vllt mehr Erfahrung als ich.
Echt? Also nur Vorlesungen und Übungen besucht? Ich finde das echt schwer.
In der Schule gibt es zu jedem Thema eine super Erklärung auf youtube, da habe ich die Lehrer gar nicht gebraucht, sondern nur das Lehrplan der Fächer und Youtube, vor allem Khan academy da erklärt er sowas von gut. Und um Aufgaben zu lösen einfach welche aus den Bücher genommen.
Im Studium ist es aber schwieriger, weil keine so gute Erklärungen im Internet gibt (wahrscheinlich weil das schwerer ist?). In den Vorlesungen versteht man leider nicht viel und In den Übungen ist es auch nicht sooo.
Übrigens ich kann fast jedes Buch auf Springer (und anderen Portalen) herunterladen (kostenlos) und lesen. Falls du gerne liest und dich das interessiert kann ich dir gerne sagen wie es geht als dankeschön
Entschuldigung, ich habe nen Fheler gemacht. Gesucht ist das Urbild von {12}. Also nicht das Bild sry