Aufgabenverständnis Relationen, Abbildungen, Bilder / Urbilder?
Die folgende Aufgabe unten wurde uns gestellt. Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht ganz, unten sind doch Bilder und Urbilder aufgelistet, oder? Meine Aufgabe ist es also zu jedem Bild das Urbild und zu jedem Urbild das Bild zu bestimmen? Und wenn ja, wie sieht das aus, könnte mir wer zwei der Beispiele "vorrechnen"? Mir sind Bilder und Urbilder bisher nur aus der Mengenlehre, in Kombination mit Relationen, bekannt.
1 Antwort
Meine Aufgabe ist es also zu jedem Bild das Urbild und zu jedem Urbild das Bild zu bestimmen?
Exakt!
Mir sind Bilder und Urbilder bisher nur aus der Mengenlehre, in Kombination mit Relationen, bekannt.
Kein Wunder, hier geht es ja auch um Mengen.
Und wenn ja, wie sieht das aus, könnte mir wer zwei der Beispiele "vorrechnen"?
Gerne.
da das Minimum der Sinusfunktion auf diesem Intervall, nämlich 0, bei 0 liegt und das Maximum, 1, bei pi/2. Da f stetig ist folgt aus dem Zwischenwertsatz dass alle Werte dazwischen angenommen werden und [0,1] somit das Bild von f ist.
Die Sinusfunktion ist 2*pi-periodisch, das heißt
Auf [0, 2*pi) hat f genau zwei Nullstellen:
Also ist
Erklärung zu Bild und Urbild
Woher erkenne ich was von den Funktionen ein Bild und was ein Urbild ist?
Eine Funktion ist kein Bild oder Urbild, sondern Teilmengen der reellen Zahlen haben Bilder und Urbilder unter der Funktion.
Zum Beispiel ist
das Bild der Teilmenge [0, pi/2] unter f.
Also, [0,1] ist das Bild. [0,pi/2] ist aber nicht das Urbild von [0,1], sondern nur ein Teil des Urbilds, da die Sinusfunktion periodisch und nicht eindeutig umkehrbar ist.
Das bringt uns zum Urbild:
Ich dachte immer Urbilder werden durch die kleine -1 im Exponenten gekennzeichnet und die anderen Aufgaben ohne diese -1 wären dann die Bilder.
So ist es.
Ein Urbild einer Menge M enthält alle Zahlen x aus der Definitionsmenge, die in f eingesetzt in M landen:
Wenn wir beispielsweise
bestimmen möchten, fragen wir: Welche sind die Zahlen, die f auf die 0 abbildet?
Das sind z.B. die 0 selbst, wie wir gesehen haben aber auch pi und alle Vielfachen von pi, weil
Somit stellen diese Zahlen zusammengenommen das Urbild der 0 dar.
Wenn es sich bei dieser Aufgabe um das Urbild handelt, dann muss ich doch für das Bild die 0 einfach nur in die sin x einsetzen und den Wert bestimmen, oder? Weil ich doch die Null auf den Wert der reellen Zahlen mit der Funktionsvorschrift in sin x abbilde?
Richtig, das wäre das Bild von {0}, aber gefragt war nach dem Urbild. Das Bild von {0} unter f besteht nur aus der 0, und ergibt sich, wie Du richtig sagst, einfach durch Einsetzen:
Bilder liegen also immer in der Zielmenge, Urbilder immer in der Definitonsmenge der Funktion.
Ich hoffe dass die Zusammenhänge nun klarer sind.
Vielen, vielen Dank! Exakt diese Ergänzung war zum Verständnis noch nötig! :)
Zunächst einmal vielen lieben Dank für die Antwort!
Ein paar Fragen ergeben sich mir aber noch:
Woher erkenne ich was von den Funktionen ein Bild und was ein Urbild ist? Ich dachte immer Urbilder werden durch die kleine -1 im Exponenten gekennzeichnet und die anderen Aufgaben ohne diese -1 wären dann die Bilder. Jetzt haben Sie aber bei der ersten Aufgabe das Bild bestimmt, also handelte es sich bei dieser Aufgabe um das Urbild?
Und die Lösung der zweiten Aufgabe konnte ich nicht ganz nachvollziehen.
Wenn es sich bei dieser Aufgabe um das Urbild handelt, dann muss ich doch für das Bild die 0 einfach nur in die sin x einsetzen und den Wert bestimmen, oder? Weil ich doch die Null auf den Wert der reellen Zahlen mit der Funktionsvorschrift in sin x abbilde?