Meines besten Wissens nach ist dieser Taschenrechner leider nicht programmierbar.

Beim Negieren arbeitet man sich von links nach rechts vor. Aus einem "für alle gilt" wird ein "es existiert ein ... sodass nicht". Aus einem "es existiert ein" wird ein "für alle ... gilt nicht".

Unterteile zuerst den Ausdruck in Teil (b), sodass es übersichtlich bleibt:

Damit kann man den Ausdruck so schreiben:

Jetzt wird negiert:

Ersetze die Implikation (A -> B) definitionsgemäß durch (nicht A oder B)

Wende die DeMorgan'schen Gesetze an:



 Jetzt musst Du nur noch B negieren und einsetzen.

 Okay, schauen wir uns die erste Ableitung an:

Da steht eine Summe, mit den Summanden

Da dürfen wir die Summenregel anwenden, und jeden Summanden einzeln ableiten. Die -1 rechts ist eine Konstante, also ist die Ableitung 0.

Bleibt noch der Teil mit der e-Funktion übrig. Dafür brauchen wir, wie Du richtig gesagt hast, die Kettenregel. Hier ist sie nochmal zur Erinnerung:



Anhand der Farben siehst Du, was zu f und was zu g gehört:



Da musst Du jetzt nur noch einsetzen. Ich helfe Dir gerne wenn Du nicht weiterkommst.

Nicht linear unabhängig:

Also sind diese Polynome linear abhängig.

Nicht erzeugend:

Das linke Polynom ist das einzige, das Polynome ersten Grades erzeugen könnte. Aber beispielsweise gilt:



Also gibt es mindestens ein Polynom ersten Grades, das nicht von diesem Polynom erzeugt wird. Also werden nicht alle Elemente in

von M erzeugt. Somit ist M kein Erzeugendensystem.

Zu g):

Offensichtlich hat jede symmetrische 2 x 2-Matrix folgende Gestalt:

Dadurch ist eine solche Matrix durch genau drei reelle Parameter eindeutig bestimmt, und kann beispielsweise mit folgendem Isomorphismus auf einen reellen Vektor der Länge 3 abgebildet werden:

Deshalb istBilde nun eine 3 x 3-Matrix mit den Bildern der Matrizen in der linken, oberen Menge unter diesem Isomorphismus, und betrachte ihren Rang:

Also sind diese drei Matrizen linear unabhängig und bilden eine Basis von V.

Ich finde es super dass Du Dich schon als Schüler gerne mit der höheren Mathematik beschäftigst. Kopf hoch, so ein kurzer Test kann nur bedingt etwas über die Anforderungen im Studium aussagen. Dein mathematisches Verständnis ist ganz bestimmt nicht unterdurchschnittlich!

Hier sind die Lösungen zum Vergleich. Nachfragen zum Verständnis werden gerne entgegengenommen.

Aufgabe 1

1. richtig
2. falsch
3. richtig
4. richtig

Aufgabe 2

1. richtig
2. falsch
3. falsch
4. richtig

Aufgabe 3

1. falsch
2. richtig
3. falsch
4. richtig

Aufgabe 4

1. falsch
2. richtig
3. richtig
4. falsch

Aufgabe 5

1. richtig
2. falsch
3. falsch
4. richtig

Viel Erfolg bei der Studienwahl!



Forme den Ausdruck für die y-Koordinate genauso um, und Du wirst sehen dass das zulässige Gebiet ein Rechteck ist.

Für y >= 1:



Für y < 1:

 also:

 So kommt man auch auf die Kantenlängen.

@LoverOfPi hat recht,

konvergiert für alle

alpha kann beliebig klein sein, auch viel kleiner als 10^(-14). Wenn Du möchtest kann ich Dir zeigen, wieso.

Vertraue niemals blind der Ausgabe von WolframAlpha, dieses Tool fabriziert oft den größten Schwachsinn.

Herleitung der obigen Aussage

Einer der einfachsten Wege führt über das Integralkriterium. Dieses besagt:

Ist f > 0 eine monoton fallende Funktion auf [p, unendlich), und existiert das Integral



genau dann konvergiert die Reihe



In unserem Fall ist p = 1,

f ist nicht negativ und monoton fallend für alpha > 0. Es gilt

Der Grenzwert auf der rechten Seite existiert genau dann, wenn



Demnach existiert genau dann das Integral, und nach dem Integralkriterium konvergiert auch genau dann die Reihe.

Nein, diese Reihe divergiert. Du kannst z.B.

als Minorante verwenden.

Edit: Du fragst Dich, für welche die Reihe konvergiert, bzw. divergiert?

{z∈ℤ| |z| < 4}

bedeutet: Die Menge aller ganzen Zahlen, deren Betrag kleiner als 4 ist.

Betrag bedeutet, vereinfacht gesagt, dass das Vorzeichen weggelassen wird.

Das sind diese positiven Zahlen: 1, 2, 3.

Dann die Null.

Und die negativen Zahlen : -3, -2, -1, denn auch deren Beträge

|-3| = 3, |-2| = 2, |-1| = 1 sind kleiner als 4.

Also ist

{z∈ℤ| |z| < 4} = {-3,-2,-1,0,1,2,3}

Wir müssen den richtigen Grundraum betrachten:

K = Kopf, Z = Zahl

Dann gibt es 8 mögliche Ausgänge für unser Experiment:

KKK

KKZ

KZK

KZZ

ZKK

ZKZ

ZZK

ZZZ

Sechs davon werten wir als Erfolg: KKZ, KZK, KZZ, ZKK, ZKZ, ZZK.

Also beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit 6/8 = 3/4.

Prüfe erstmal mittels der Cauchy-Riemann'schen Gleichungen wo f überhaupt holomorph ist.

Zerlegung von f in Real- und Imaginärteil:

Seien

 Dann lässt sich f so zerlegen:

 

a) Das ist ein super Beispiel für eine solche Funktion!

b) Ganz langweiliges Beispiel

 c) Wie wäre es mit



Für alle n >= 3 ist die linke Seite kleiner als die rechte. Egal was man für n einsetzt.

Die linke Seite wird immer kleiner, je größer n wird:

 Und für n = 3 gilt



Also wenn die linke Seite für n = 3 gleich 8/9 ist, und für n > 3 immer kleiner wird, dann gilt die Ungleichung für alle n >= 3.

Exakt, da passiert eine Eta-Conversion. Du hättest auch schreiben können:

alternative :: [Integer] -> Integer
alternative = \list -> foldr (\x ys-> if (x `mod` 11 == 0) then 13 + ys else x * ys) 7 list

\x -> f x

und

f

sind äquivalent.

Für Module m > 0 gilt

wenn dann

Damit kann man die Lösungen leicht von Hand ausrechnen.

Für die a) zum Beispiel:

also

 Oder bei der b):

 Und Du hast recht, diese Gleichungen haben etwas mit der Phi-Funktion zu tun.

Schau Dir dazu den kleinen Satz von Fermat und den Satz von Euler an.

Viele Grüße!

Um zu zeigen dass eine Teilmenge U ein Untervektorraum ist, musst Du drei Bedingungen prüfen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Untervektorraum

1. 
2. 
3. 

Zur i): Zuerst kümmern wir uns um Bedingung 1. Wir müssen zeigen dass U nicht leer ist, also dass es mindestens ein Polynom P von Grad <= 3 gibt, sodass

Vielleicht ist es Dir aufgefallen, es gilt



Jetzt können wir uns ein möglichst einfaches Polynom anschauen, zum Beispiel das Nullpolynom (das Grad 0 hat)

und sehen dass

Somit ist U nicht leer und Bedingung 1 ist erfüllt.

Zu Bedingung 2: Wenn u und v in U liegen, liegt auch u + v in U. Hierzu nehmen wir uns zwei Polynome aus U heraus und addieren sie, um zu zeigen dass auch ihre Summe wieder in U liegt.

Seien also

Dann gilt

Addieren wir sie und nennen das Ergebnis w:

Wenn wir iT in w einsetzen erhalten wir

Das Addieren von Polynomen erhöht den maximalen Grad nicht, und da deg(u) und deg(v) <= 3 sind, ist auch deg(w) <= 3. Somit haben wir gezeigt:

Bei der Bedingung 3 nehmen wir uns wieder ein Polynom v aus U, und dazu einen Skalar



Multiplikation mit einem Skalar erhöht den Grad eines Polynoms ebenfalls nicht.

Folgende Äquivalenz zeigt dass alpha*v wieder in U liegt:



Damit wäre auch Bedingung 3 bestätigt. Also ist U tatsächlich ein Untervektorraum von V= C[T].

Zu (ii):

Tipp zu Bedingung 1: Wenn wir eine beliebige Nullfolge angeben können, ist U nicht leer.

Zu Bedingung 2:

Wir nehmen uns zwei Folgen aus U, x und y.

Dann gilt für diese Folgen:



Und wir müssen zeigen, dass für

gilt:

dann liegt z nämlich auch in U.

Sei also

Da x und y in U liegen existieren zu

natürliche Zahlen

sodass

und mit

erhalten wir

dank der Dreiecksungleichung. Also ist auch

Bedingung 3:

Seien

Wir definieren nun



Da x in U liegt gelten die gleichen Vorraussetzungen wie oben. Wir setzenDamit erhalten wir für alle

Also ist auch

Daraus folgt, dass U ein Untervektorraum von V ist.

Wird das Deinen Ansprüchen gerecht?

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        Logo & \hspace*{7cm} & \LARGE Straße \\
         & &\LARGE PLZ Stadt
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        \textbf{Titel der Arbeit}
    \end{center}
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        \Large
        Verfasser\\
        Profil\\
        Lehrer\\
        Abgabe
    \end{flushright}
\end{titlepage}

Versuchs mal so:

1. 2
2. y^x
3. wurzel
4. 2
5. =

Du hast es schon fast.

Tipp:



Mit

 sollte es funktionieren.