Äquivalenz der Aussagen zeigen (Analysis I)?
Hallo,
Seien M,L Mengen und f: M --> L eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
- f ist injektiv
- f^(-1)(f(B))=B für alle B⊂M
Danke im Voraus!
2 Antworten
Zeige die Äquivalenz, indem du die beiden Implikationen 1. ⇒ 2. und 2. ⇒ 1. nachweist.
Bei 1. ⇒ 2. wüsste ich jetzt nicht, was ich für Hinweise geben könnte, ohne direkt einen Lösungsweg zu verraten.
Bei 2. ⇒ 1. kann man ansetzen, dass man x₁, x₂ ∈ M mit f(x₁) = f(x₂) betrachtet und folgert, dass x₁ = x₂ ist. Dabei kann es hilfreich sein, zu bemerken, dass f(x₁) = f(x₂) äquivalent zu x₁ ∈ f⁻¹(f({x₂})) ist. (Na? Wie könnte man da wohl dann die Aussage 2. verwenden?)
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Nach Definition der Bildmenge f(B) liegen in der Menge f(B) genau die Elemente der Form f(x) mit x ∈ B. Bzw. habe ich da \tilde{x} statt x als Bezeichnung verwendet, da die Bezeichnung x an der Stelle bereits anderweitig verwendet wird. Demnach ist also f(x) ∈ f(B) genau dann, wenn f(x) von der Form f(\tilde{x}) für ein \tilde{x} ∈ B ist.
Ich habe im folgenden Bild auch nochmal versucht, das sehr ausführlich zu erläutern: https://i.imgur.com/5LPZIgm.png
Das braucht da nicht näher definiert zu werden.
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Evtl. ein einfacheres Beispiel zum Vergleich:
Wenn man beispielsweise die Aussage „Es gibt (mindestens) eine ganze Zahl, welche kleiner als 5 ist.“ formal aufschreiben möchte, so kann man das beispielsweise so schreiben ...
∃k ∈ ℤ : k < 5
Um das so aufschreiben zu können, muss man eine Bezeichnung für diese Zahlen wählen, die existieren. Bei dem Beispiel habe ich nun k gewählt. Ich hätte aber auch eine andere Bezeichnung wählen können, beispielsweise y ...
∃y ∈ ℤ : y < 5
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So ist es auch in meinem Lösungsvorschlag zur Aufgabe \tilde{x} ist einfach nur eine Bezeichnung für die entsprechenden Zahlen die existieren, was durch den Existenzquantor ∃ klar wird (∃\tilde{x} ∈ B : ...). Weitere Definitionen sind hier zu \tilde{x} nicht nötig.
Naja, wenn du f(B) machst, bildest du ja die Elemente B auf ihre Bilder
C=f(B) =Teilmenge von L ab.
vor Allem gilt dass für jedes C ein Urbild existiert.
Denn wäre dem nicht so, so wäre |C|<|B| das würde heißen, es gäbe 2 Elemente aus B die das gleiche Bild in C hätten. Die Surjektivität verbietet das ja gerade und sagt dass jedes element aus B genau ein (oder theoretisch kein) Urbild hat.
oder anders gesagt:
Weil f eine Funktion/Abbildung ist, hat jedes Element aus B genau ein Bild.
dass 2 Elemente aus B das selbe Bild haben, ist wegen der injektivität nicht möglich.
d.h. zu jedem Bild gibt es genau 1 Urbild und umgekehrt.
in dem Sinne so ähnlich wie bei der Bijektivität.
Exkurs:
Man beachte aber dass die Menge an bildern nicht zwingend gleich L sein.
denn obwohl eingeschränkt auf B und f(B) das ganze bijektiv sein kann, mag es elemente aus L geben, die kein Urbild in M haben.
ergo |L|>=|M|. und nur bei Gleichmächtigen mengen kann überhaupt bijektivität gelten.
Exkursende
Jedenfalls ist das ganze eine eins zu eins beziehung.
von daher |B|=|f(B)|.
wendest du nun f^-1 auf f(B) an, kriegst du einfach nur die elemente wieder, deren Bilder die Menge f(B) gebildet haben.
so in etwa sollte wohl die Begründung gehen.
Vielen Dank, sehr hilfreich. Kannst du vielleicht das x mit der Tilde oben drüber definieren? Was soll das bedeuten?