x^3/(x^2-x+1) Wie klammere ich x^3 richtig aus?

Ich arbeite an gebrochen rationalen funktionen und soll das verhalten von x in den grenzwerten beweisen. Dabei sollen wir die höhste potenz immer ausklammern aber ich hab vergessen wie...

Answer 1

[Rammstein53]

Beim Grenzwert für x gegen 0 ergibt sich:

$\frac{0}{0-0+1}=\ 0$

Beim Grenzwert für x gegen +∞ teilt man Nenner und Zähler durch die höchste Potenz von x, dann ergibt sich:

$\frac{1}{\frac{1}{x\ }-\ \frac{1}{x^2}+\ \frac{1}{x^3}}$

Für x gegen +∞ geht der Nenner (der Term unter dem Bruchstrich) gegen +0. Daher ist der Grenzwert +∞.

Für x gegen -∞ geht der Nenner gegen -0. Daher ist der Grenzwert -∞.

Dann müsste man noch die Nullstellen des Polynoms x²-x+1 im Nenner untersuchen. Denn im Fall einer Nullstelle wäre der Bruch undefiniert. Dieses Polynom hat aber keine reelle Nullstellen.

Answer 2

[Rhenane]

Die Summanden des Ausgangsterms musst Du jeweils durch den ausgeklammerten Wert teilen. Ich würde aber bei Zähler und Nenner separat die höchste Potenz ausklammern und im zweiten Schritt dann die ausgeklammerten Potenzen miteinander verrechnen und dann x gegen +/- - Unendlich laufen lassen.

Also: x³/(x²-x+1) = x³/[x²*(1-1/x+1/x²)]=x/(1-1/x+1/x²)

Läuft jetzt x gegen +/- - unendlich, läuft der Nenner gegen 1-0+0=1, der Zähler Richtung plus- bzw. minus-unendlich.

Somit erhältst Du schließlich für f(x)=x³/(x²-x+1):
$\lim_{x->\infty}\ \frac{x^{ }}{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\ \frac{\infty}{1}$

$\lim_{x->-\infty}\ \frac{x}{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}=\frac{-\infty}{1-0+0}=-\infty$

Answer 3

[Tannibi]

Und wieder mal: Was steht alles im Nenner?

Ok, also

x³/(x²-x+1) = x³ * (1/(x²-x+1))

Comments

[Roguewhiskers75]

Dankeeeeee

[Roguewhiskers75]

x^2-x+1