Verhalten von gebrochen rationale Funktionen für x gegen +- unendlich für n > m+1?

Ich weiß wie dies für vorgegebene Funktionen funktioniert, jedoch nicht wie ich dies für den allgemeinen Fall n > m + 1 zeigen soll.

Comments

[Tannibi]

Was sind vergebene Funktionen?

[MaxiWv2]

Ups, meinte vorgebene Funktionen also nicht allgemein

[BorisG2011]

Könntest du bitte die Beudeutung der natürlichen Zahln n und m angeben. Vermutlich ist eine der Zahlen der Grad des Zählerpolynoms und die andere der Grad des Nennerpolynoms.

[MaxiWv2]

n ist vom Zählerpolynom und m vom Nennerpolynom

Answer 1

[BorisG2011]

Wenn der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der Grad des Nennerpolynoms, kannst du Polynomdivision anwenden, um die gegebene gebrochenrationale Funktion zu zerlegen in eine ganzrationale Funktion (in anderen Worten: ein Polynom) und in eine gebrochenrationale Funktion, bei der das Zählerpolynom einen kleineren Grad hat als das Nennerpolynom. Den ganzrationalen Teil verwendest du dann, um das Verhalten der Funktion für minus Unendlich und Unendlich zu untersuchen.

Der Grad der durch Polynomdivision erhaltenen ganzrationalen Funktion ist n - m.

Wenn n > m + 1 gilt, ist der Grad der ganzrationalen Funktion also mindestens 2.

Nachtrag:

Für die allgeine gebrochenrationale Funkiton setzt du an:

$f\left(x\right)\ =\ \frac{a_n\cdot x^n\ +\ a_{n-1}\cdot x^{n-1}\ +\ ...\ +\ a_0}{b_m\cdot x^m\ \cdot\ b_{m-1}\cdot x^{m-1}+\ ...\ +\ b_0}$ Wenn du die Polynomdivision ausführst, erhältst du im ersten Schritt

$\frac{a_n}{b_m}\cdot x^{n-m}$ Es folgen weitere Summanden, die du aber für die Bestimmung des Verhaltens der Funktion im Unendlichen nicht brauchst. Von dem Quotienten

$\frac{a_n}{b_m}$ interessiert dich nur das Vorzeichen, vom Exponenten n - m nur, ob er gerade oder ungerade ist.

Für gerade Exponenten gilt:

Wenn der genannte Quotient positiv ist, geht die Funktion sowohl für sehr kleine als auch für sehr große Werte von x gegen + Unendlich. Wenn der Quotient negativ ist, geht die Funktion sowohl für sehr kleine als auch für sehr große Werte von x gegen - Unendlich.

Bei ungeraden Exponenten gilt:

Wenn der Quotient positiv ist, geht die Funktion für große x-Werte gegen + Unendlich und für kleine x-Werte gegen - Unendlich. Wenn der Quotient negativ ist, geht die gebrochenrationals Funktion für große x-Werte gegen -Unendlich und für kleine x-Werte gegen +Unendlich.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Mathematik

Comments

[MaxiWv2]

Ich soll das Verhalten dieser Funktion für eine allgemeine Funktion im unendlichen zeigen

[BorisG2011]

@MaxiWv2

Ich habe die Antwort ergänzt.