Wurzelgleichung, Hilfe?

Kann gar nicht in Worte fassen, wie viel Mühe mir diese Dinger namens “Wurzeln” in der Mathematik bereiten. Könnte mir daher jemand erklären, wie ich diese Aufgabe hier zu lösen habe? Am liebsten so einfach wie möglich, stellt euch vor ich wäre 5…

Answer 1

[Hamburger02]

Die Wurzeln müssen weg. Die Umkehroperation vom Wurzweln ist das Quadrieren. das machen wir mal:
( √4x - 12 + √8 + 4x )^2 = ( √16x - 12 ) ^2
Die rechte Seite ist einfach, da heben sich das Quadrat und die Wurzel gegenseitig auf und es ergibt 16x - 12

Die linke Seite ist schwieriger. Da müssen wir die binomische Formel anwenden:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Hier wäre a = √4x - 12 und b = √8 + 4x
also erhalten wir auf der linken Seite:
(√4x - 12)^2 + 2*(√4x - 12) * (√8 + 4x) + (√8 + 4x)^2
die Wurzeln und Quadrate vorne und hinten heben sich auf und wir erhalten:
= 4x - 12 + 2*(√4x - 12) * (√8 + 4x) + 8 + 4x
nun zieher wir die x und die Zahlen vorne und hinten noch zusammen und erhalten:
= 8x - 4 +2*(√4x - 12) * (√8 + 4x)

Die gesamte Gleichung lautet nun also:
8x - 4 +2*(√4x - 12) * (√8 + 4x) = 16x - 12

Nun bringen wir die x und die -4 von links nach rechts:
2*(√4x - 12) * (√8 + 4x) = 8x - 8

und teilen durch 2:
(√4x - 12) * (√8 + 4x) = 4x - 4

Nun können wir erneut beide Seiten quadrieren, um links die Wurzeln wegzukriegen. Da braucvhren wir keine binomische Formel, da zwischen den Wurzeln ein mal und kein plus steht:
(4x - 12) * (8 + 4x) = (4x - 4)^2

das müssen wir nun ausmultiplizieren:
32x - 96 + 16x^2 - 48 x = 16x^2 - 32x + 16
sortieren:
16x^2 - 16x - 96 = 16x^2 - 32x + 16

da fällt links und rechts schonmal das 16x^2 weg:
- 16x - 96 = - 32x + 16

x nach links, Zahlen nach rechts:
16x = 112
x = 112/16 = 7

Probe:

√(28 - 12) + √(8 + 28) = √(112 - 12)
√16 + √36 = √100
4 + 6 = 10
10 = 10

stimmt also...

Comments

[Lutz28213]

Ganz wichtig (als Tipp für ähnliche Rechnungen): Die Probe!!

[Hamburger02]

@Lutz28213

In der Tat. Hätte ich keine Probe gemacht, wäre mir ein Vorzeichenfehler nicht aufgefallen, der zunächst zu einem falschen Ergebnis geführt hatte.

Answer 2

[ethan227]

Zuerst musst Du natürlich die Würzeln durch das Quadrieren der Zahlen wegnehmen. Das machen wir mal in diesem Weg :

$\sqrt{4x\ -\ 12}\ +\ \sqrt{8\ +\ 4x}\ =\ \sqrt{16x\ -\ 12}$ Hier sollten wir die binomische Formel nutzen, da es a + b ist, also das Ergebnis sollte a^2 + 2ab + b^2 sein.

Nach dem Quadrieren bekommt man

$\left(4x-\ 12\right)\ +\ 2\left(\sqrt{4x\ -\ 12}\right)\left(\sqrt{8\ +\ 4x}\right)\ +\ 8\ +\ 4x\ =\ 16x\ -\ 12$ Jetzt kombinieren wir alle gleichen Termen und sie zur letzten Stelle bringen.

$8x\ -\ 4\ +\ 2\left(\sqrt{4x\ -\ 12}\right)\left(\sqrt{8\ +\ 4x}\right)\ =\ 16x\ -\ 12$ $2\left(\sqrt{4x\ -\ 12}\right)\left(\sqrt{8\ +\ 4x}\right)\ =\ 8x\ -\ 8$ Dann sollten wir das durch 2 teilen. Wir bekommen :

$\left(\sqrt{4x\ -\ 12}\right)\left(\sqrt{8\ +\ 4x}\right)\ =\ 4x\ -\ 4$ Als nächstes sollten wir diese wieder quadrieren, wir haben dann ein Ergebnis von :

$\left(4x\ -\ 12\right)\left(8\ +\ 4x\right)\ =\ 16x^2\ -\ 32x\ +\ 16$ $32x\ +\ 16x^2\ -\ 96\ -\ 48x\ =\ 16x^2\ -\ 32x\ +\ 16$ $-16x\ +\ 16x^{2\ }-\ 96\ =\ 16x^2\ -\ 32x\ +\ 16$ $-16x\ -\ 96\ =\ -32x\ +\ 16$ Hieraus sagt man, dass x = 7 ist.

ZUR KONTROLLE :

Jetzt fügen wir x = 7 in diese Gleichung hinzu, wir bekommen dann

sqrt(16) + sqrt(36) = sqrt(100)

4 + 6 = 10 ( Richtig )

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik ist seit langem mein Lieblingsfach.🧮

Answer 3

[ShimaG]

1. Erstmal durch 2 kürzen, das macht die Ausdrücke kompakter.
2. Überlege dir den Definitionsbereich.
3. Dann einmal beide Seiten quadrieren. Die Wurzel auf der rechten Seite fällt dann weg, und auf der linken Seite wendest du die binomische Formel an. Du bekommst dann noch einen gemischten Term mit Wurzeln.
4. Alles, was keine Wurzel mehr hat, auf die rechte Seite bringen.
5. Nochmal quadrieren. Dann fällt auch die Wurzel auf der linken Seite weg, und auf der rechten Seite hast du ein binomische Formel.
6. Alles auf eine Seite bringen. Dann hast du eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.
7. Danach noch schauen, ob die Ergebnisse in der Definitionsmenge liegen. Beim Quadrieren kann das schonmal verloren gehen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium und Promotion in Angewandter Mathematik