Würde Phytagoras im 3d Raum nicht mehr Stimmen wenn der Raum gekrümmt währe?
Mann weiß ja nicht ob unser 3dimensionale gekrümt ist oder nicht
6 Antworten
Hallo IchMagDichNich7,
in der Tat: Wenn der 3D- Raum gekrümmt ist, kommt es zu Abweichungen vom PYTHAGORAS. Auf kleinen Skalen gilt er allerdings nach wie vor.
Man weiß ja nicht, ob der 3dimensionale Raum gekrümmt ist oder nicht.
Doch, das weiß man:
- "Global" gesehen (also über das ganze sichtbare Universum hinweg) scheint der 3D- Raum höchstens eine sehr schwache innere Krümmung¹) zu haben.
- Lokal, nämlich in der Nähe schwerer Massen ist er sehr wohl gekrümmt; das macht sich durch den Gravitationslinseneffekt bemerkbar, Licht wird durch massereiche Körper nach innen abgelenkt.
Die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) beschreibt die Gravitation nämlich als innere Krümmung¹) der (1+3)D- Raumzeit, von der der 3D- Raum eine Untermannigfaltigkeit²) ist. Den Weg eines Körpers (bzw. seines Schwerpunkts) durch die Raumzeit nennt man seine Weltlinie (WL).
Die WLn zweier Körper, die sich relativ zueinander nicht bewegen, verlaufen parallel; die WL eines Körpers, der keine Kräfte "spürt", ist geodätisch¹). Dies gilt zum Beispiel auch für deine WL, wenn Du Dich z.B. im freien Fall befindest, etwa beim Sprung vom Zehner.
Abb. 1: Modell für einen Sprung vom Zehner: Dieser bzw. Deine WL, wenn Du dort stehst, wird durch den höheren Breitengrad (rot) repräsentiert, Deine WL im Wasser durch den weniger hohen (schwarz) und der Erdmittelpunkt durch den Äquator. Die gelbe Linie ist ein Großkreisbogen und stellt Deine WL während des Falls dar.
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¹) GAUß fand heraus, dass sich die innere Krümmung einer Fläche unabhängig von ihrer Einbettung in einen höherdimensionalen Raum beschreiben lässt, nämlich durch das Verhalten Geodätischer (Linien); das sind die geradesten Linien, die ganz in der Fläche liegen.
In einer negativ gekrümmten Fläche (Sattelfläche) tendieren Geodätische dazu, auseinander zu laufen, in einer positiv gekrümmten Fläche tendieren sie dazu, zusammenzulaufen. Eine Zylindermantelfläche allerdings ist ungeachtet der Tatsache, dass sie ja offensichtlich gebogen ist, geometrisch flach: Geodätische, die an einer Stelle in dieselbe Richtung verlaufen, verlaufen überall parallel.
RIEMANN verallgemeinerte das Prinzip auf Mannigfaltigkeiten (S. Fußnote 2).
²) Das Konzept der Mannigfaltigkeit verallgemeinert das der Fläche auf mehrere Dimensionen. Deren Krümmung in einem gegebenen Punkt lässt sich nicht durch eine einzelne Zahl beschreiben.
Ja. Der phytagoras gilt nur so wie er ist in der euklidische. (Flächen Geometrie) In einer nicht euklidischen (gekrümmten) Geometrie kann z.b. die Winkelsumme eines Dreiecks grösser als 180grad werden. Oder kleiner.
Ein Flugzeug was um die Erde fliegt. Kann. Solange die Strecken lang genug sind mit 3 90grad Kurven wieder zum Startpunkt zurück kommen.
Für die krümmung des Universums spielt das alles aber keine Rolle. Weil diese auf soo riesigen Skalen wäre das es hier auf der Erde bedeutungslos ist.
Ähnlich wie du das auf der Erde mit dem Flugzeug machen kannst. Aber zu Fuss wenn die Strecken nur ein paar Kilometer sind. Nicht.
Wenn der Raum gekrümmt wäre, sind auch gerade Linien nicht mehr zwingend gerade, somit auch die Seiten-Quadrate nicht mehr Ebenen. Und auch der rechte Winkel gegenüber der Hypotenuse muss nicht mehr einzige 90-Grad-Winkel sein.
Ja, das ist richtig — im gekrümmten Raum ist die Metrik nicht mehr euklidisch, also kannst Du die bekannten Formeln aus der Geometrie alle nicht anwenden.
Das funktioniert übrigens bereits in zwei Dimensionen: Auf der Erdoberfläche (sphärische Geometrie) kannst Du ein Dreieck zeichnen, das drei gleich lange Seiten und drei rechte Winkel hat (alle Dreiecke auf einer Kugeloberfläche haben mehr als 180° Winkelsumme). Z.B. vom Nordpol zwei Linien zwei Linien (Meridiane) im 90°-Winkel bis zum Äquator und das Stück Äquator dazwischen (alle Meridiane stehen normal auf den Äquator).
Du hast Recht - wenn der dreidimensionale Raum gekrümmt ist, gilt der Satz von Pythagoras in seiner einfachen Form nicht mehr. Auf diese Art und Weise versucht man übrigens herauszufinden, ob die Geometrie des Universums flach ist oder nicht…