Woran erkenne ich welche die Ableitung ist?
Hallo Leute,
Die Aufgabe ist es den Funktionsgraphen den Graphen ihrer Ableitung zuzuordnen, das hab ich schon gemacht allerdings mit dem Grafiktaschenrechner, was aber nicht Sinn der Sache ist.
Meine Frage ist daher woran erkenne ich die Ableitung einer Funktion?
3 Antworten
Du kannst die Art der Funktion betrachten, so haben trigonometrische Funktionen immer trigonometrische Ableitungen, Exponentialfunktionen immer Exponentialableitungen. Identifizierst du ein Bild als Polynom, also Funktion der Form a_n*x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0, dann kannst du auf den Grad der Funktion schauen. Geht die Funktion für x->±∞ hast du ein Polynom gerade Grades. Geht es im Unendlichen in verschiedene Richtungen, hast du einen ungeraden Grad. Die Ableitung ist dann jeweils der gegenteilige Grad.
Wenn du damit nicht weiterkommst, beachte die Bedeutung der Ableitung. Die Ableitung gibt die Steigung der Ursprungsfunktion an. Sprich: Wenn deine Funktion sehr stark steigt oder fällt, muss die Ableitung sehr stark positiv oder negativ sein. Bei einem Extremum fällt oder steigt der Funktionsgraph nicht, das heißt bei einem Hoch- oder Tiefpunkt muss die Ableitung eine Nullstelle haben. Zusätzlich ist bei einem Wendepunkt der Ursprungsfunktion ein Extremum der Ableitung zu verzeichnen.
Damit hast du eigentlich alles, was du zum Erkennen der Ableitung brauchst. ;)
Meine Frage ist daher woran erkenne ich die Ableitung einer Funktion?
Da gibt es meherer Möglichkeiten.
Hier wäre dioe einmfachste: die Ableitungsfunktion ist immer exakt um einen Grad niedriger als die Stammfunktion.
A: Funktion hat dritten Grad, also hat die Ableitung den 2 Grad und der Graph muss eine Parabel sein: (3)
B: 2 Grades, also ist die Ableitung 1. Grades und der Graph davon ist eine Gerade: (4)
C: die Ableitung vom cosinus ist sinus und umgekehrt. Die einzige Sinuskurve ist (2)
D: Funktion hat 4. Grad, also ist Ableitung 3 Grades und der Graph einer Finktion 3. Grades isz (1)
Zweite Methode:
Man guckt, wo die Funktion Hoch- oder Tiefpunkte hat, denn dort muss die Ableitung eine Nullstelle haben.
A: Extrema bei 0 und 1,3. Nullstellen bei 0 und 1,3 gibt es nur bei (3)
B: Tiefpunkt bei -1, Nullstelle bei -1 in (4)
etc.
Lass einen Bleistift als Tangente über die Graphen der gegebenen Funktionen gleiten, schätze die Steigung ab und such entsprechend das Verhalten in den Ableitungsfunktionen.
Man kann sich an den Extremstellen orientieren!