Woher weiß man wie viele Nullstellen eine Funktion höchstens hat?
Bei x^2+x+1 sind es ja höchstens 2 oder?
Zählt also nur der größte Exponent?
Wäre es bej mehreren Variablen wie x^2+y+1 auch so? Und wie sieht es bei 2x+y aus?
Und wenn noch etwas mit e dabei ist?
3 Antworten
Für Polynomfunktionen einer (einzigen) Variablen wurde die Frage schon im Wesentlichen beantwortet.
Bei Funktionen mehrerer Variablen hat man üblicherweise "Hyperflächen" als Nullstellen (Hyperfläche: Raum mit einer Dimension weniger als der betrachtete Raum, hier der Raum mit den Variablen als Dimensionen). Aber die Theorien der Funktionen mehrerer Variablen sind um Vieles komplizierter als die Theorien der Funktionen einer Variablen.
Bei anderen Funktionen muss man die Nullstellen im Einzelnen untersuchen. Die Exponentialfunktion exp(x) (=e^x) hat keine Nullstelle (nicht einmal im Komplexen), andere Funktionen unendlich viele (trigonometrische Funktionen). (Immerhin können die Nullstellen "analytischer" Funktionen keinen "Häufungspunkt" im Endlichen haben, mit Ausnahme der Nullfunktion.)
Es gibt maximal immer so viele Nullstellen, wie der höchste Exponent aussagt.
Dabei sind aber auch zusammenfallende NS (Berührung der x-Achse) oder komplexe, die nicht zu sehen sind (nicht reell).
2x + y = 0 ist gleichbedeutend mit y = -2x.
x hat den unsichtbaren Exponenten 1.
Tatsächlich haben Geraden (lineare Funktionen) nur genau eine NS.
Ich hatte nicht den Eindruck, dass der FS gleich mit allen Sonderfällen vertraut gemacht werden wollte ...
Wenn man mehrfache Nullstellen entsprechend mehrfach zählt und komplexe Nullstellen zulässt, hat eine Polynomfunktion sogar genau so viele Nullstellen wie ihr Grad angibt ("Algebraischer Hauptsatz der komplexen Zahlen", oft ungenau und übertreibend als "Fundamentalsatz der Algebra" bezeichnet).
Tatsächlich haben Geraden (lineare Funktionen) nur genau eine NS.
... sofern die Steigung ungleich 0 ist.
Ist die Steigung = 0, so hat eine Gerade entweder keine Nullstelle oder unendlich viele.
Und wenn die e funktion oder etwas mit ln dabei ist, ändert das was?
Seid ihr schon bei diesen?
Was ich geschrieben habe, gilt nur für "normale" Potenzfunktionen.
Andere Funktionen zeigen ein anderen Verhalten, das nicht immer leicht voraussagbar ist.
f(x) = e^x hat gar keine Nullstelle, sondern nähert sich immer weiter der x-Achse (Asymptote).
e⁰ = 1
sin x hat unendlich viele Nullstellen.
ok, ich meinte , wenn ich ein Polynom habe (x^2+...) und da noch e^x addiere oder subtrahiere.
f(x,y)= 6x +2y hat aber unendlich Null stellen oder?
(0/0) und
y = -3x
ich bin an der uni und da ist das ganze schon merdimensional...
Ganzrationale Funktionen haben höchstens so viele NS wie der höchste Exponent von x ist. Ist dieser Koeffizient ungerade, haben sie mindestens eine.
Bei anderen Funktionen kommt es auf den genauen Funktionsterm an.
Grundsätzlich stimmt das.
Aber damit entwertest du die Aussage wieder. Wenn man zusammenfallende und komplexe Nullstellen betrachtet, dann gibt es immer genau so viele Nullstellen wie der Grad vom Polynom.