Extrempunkte bei negativem Exponenten?
Huhu ^^ Die zweite Mathe-Frage heute "Abend" 😅
Ähhm ich soll eine Kurven Diskussion bei der Funktion f(x)=9x+1/x .
Beim Ableiten kommt in dem Bruch ja ein negativer Exponent raus, eigentlich kein Problem, aber ich weiß nicht, wie der beim x aufzulösen ist.. Nach ner Stunde das Internet absuchen bin ich dann auf einen Eintrag gestoßen, dass Funktionen mit negativen Exponenten keine Nullstellen haben?
Meine Frage wäre jetzt, ob das tatsächlich stimmt und es einfach nicht geht, und wenn doch wie bringe ich das alles in ein Format, das ich auch verarbeiten kann?
Danke schonmal :D
4 Antworten
Wenn es sich um eine gebrochen-rationale Funktion handelt, die nur "x'e" im Nenner hat, dann stimmt das mit den Nullstellen (dass es keine gibt); denn ein Bruch wird nur dann Null, wenn der Zähler Null wird (der Nenner darf ja nicht Null werden). Und steht im Zähler eine konstanter Wert, dann ist das nicht möglich.
Gibt es aber neben diesem Bruch mit der Konstanten im Zähler noch weitere Summanden, wie in Deinem Fall bei 9-1/x², dann kann dieser Term durchaus Null werden:
9-1/x²=0 |+1/x²
9=1/x² |*x² |:9 (bzw. einfach die Kehrwerte bilden)
x²=1/9 |Wurzel ziehen
x=1/3 oder x=-1/3
D. h. dort sind die Extremstellen.
Nachtrag: seltsamerweise war die Antwort vom LORD bei mir eben noch nicht zu sehen, sonst hätte ich nicht nochmal geschrieben...
Trotzdem vielen Dank für deine Bemühungen! Du hast ja trotzdem noch was an Infos hinzugefügt, dass kann ja nie schaden :D
Ich vermute mal, es soll
heißen? Wenn ja, dann guck mal hier vorbei:
https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/divisionen-von-funktionen-ableiten.html
Oder such selbst nach
Quotientenregel Ableitung
...........................
Falls es hingegen wirklich
heißen soll, dann gilt
Du weißt nicht, wie man die lokalen Extremwerte einer Funktion berechnet, aber hast einfach mal so die erste Ableitung mittels Quotientenregel berechnet?
Die Extremwerte ermittelt man, in dem man die Stellen findet, wo die Steigung der Funktion = 0 ist. Und die Steigung einer Funktion ermittelt man aus der ersten Ableitung.
Vereinfacht ausgedrückt also: die erste Ableitung auf 0 setzen!
9 - 1/x² = 0 | * x²
9x² - 1 = 0 | + 1
9x² = 1 | : 9
x² = 1/9 | Wurzel
x = +- 1/3
Danke dir 😅 Und ne, Kurven Diskussion kann ich eigentlich.. Lediglich das mit dem x im Bruch war neu und anscheinend die Regeln zum "auflösen" nicht mehr wirklich präsent 😂
f = 9x + x^-1
f ' = 9 - x^-2
f ' = 9 - 1/x² = 0
1/x² = 9
1 = 9 x²
x² = 1/9
x = ± 1/3
Vielen Dank auch Ihnen! Der Kanal ist ja echt eine Gold-Grube
Die zweite Mathe-Frage heute "Abend"
Hmm... Willkommen in "Wer brauch schon Slaf?"-Land.
Nach ner Stunde das Internet absuchen bin ich dann auf einen Eintrag gestoßen, dass Funktionen mit negativen Exponenten keine Nullstellen haben?
Sie können Nullstellen haben.
z.B. f(x) = x^{-1} + 1
f(x) = x^{-1} + 1
0 = x^{-1} + 1 | -x^{-1}
-x^{-1} = 1
-1/x = 1 | *x
-1 = x
=> Nullstelle x = -1
Meine Frage wäre jetzt, ob das tatsächlich stimmt und es einfach nicht geht, und wenn doch wie bringe ich das alles in ein Format, das ich auch verarbeiten kann?
Das stimmt nicht - wie gezeigt.
Ich mache es einfach mal bei Ihrer Funktion vor:
f(x) = 9 * x + 1 / x
f'(x) = 9 - 1 / x²
0 = 9 - 1 / x² | +(1 / x²)
1 / x² = 9 | *x²
1 = 9 * x² | :9
1 / 9 = x² | sqrt() aka Quadratqurzel()
±sqrt(1 / 9) = x
x = ± sqrt(1 / 9)
x = ± sqrt(1) / sqrt(9)
x = ± 1 / 3
x = ± 0,3333333...
x_{1} = 0,3333333... und x_{2} = -0,3333333...
=> Extremstellen sind x_{1} = 0,3333333... und x_{2} = -0,3333333...
bzw.
f(x) = (9 * x + 1) / x = 9 + 1 / x
f'(x) = - 1 / x²
0 = - 1 / x² | ^{-1} aka Kehrwert bilden
1 / 0 = - x² | *(-1)
-1 / 0 = x² | sqrt() aka Quadratqurzel()
x = ± sqrt(-1 / 0)
x = ± sqrt(-1) / sqrt(0)
x = ± i / 0 | Division druch 0 ist nicht definiert
=> keine Extremstelle
Das untere ist tatsächlich richtig, aber soweit wie du war ich auch schon.. Ich weiß ab da nur nicht weiter 😅 Danke trotzdem!