Sattelpunkt graphisch integrieren?

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4 Antworten

Ich habe die beiden Antworten von Volens und ralphdieter gelesen.

Ich arbeite mal (in Abwandlung von Volens) mit der Funktion f(x) = x³ + 1. Dann ist eine Stammfunktion F(x) = 1/4·x^4 + x + 0,5. Zeichnung anbei.

Solche Punkte, die ralphdieter beschreibt, habe ich in meiner Schulzeit als "Flachpunkte" kennen gelernt. Diese Bezeichnung ist mir zwar seitdem nicht wieder untergekommen, beschreibt m.E. die Situation aber schön anschaulich.

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Kommentar von hummelxy
05.01.2016, 13:13

Das Bild ist super und macht es nochmal klar. Vielen lieben Dank! :-)
Die Antwort war super!

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Er verschwindet in der Bedeutungslosigkeit :-)

Schon ein Hochpunkt macht sich in der Stammfunktion nur als Wendepunkt bemerkbar: davor wird sie immer steiler und danach wieder etwas weniger steil.

Ein Sattelpunkt ist nun z.B. ein "Ätsch-doch-kein-Hochpunkt". Die Stammfunktion wird also immer steiler, verläuft dann in diesem Punkt "gerade" und steigt dann doch wieder immer stärker. Sie macht also eine Linkskurve, die immer schwächer wird, bis das Lenkrad auf geradeaus steht, und kurvt dann doch wieder links weiter ("Ätsch-doch-kein-Wendepunkt"). Die Tangente schmiegt sich in diesem Punkt besonders gut an — aber das ist nichts, was wirklich ins Auge sticht.

Und ein allgemeiner Wendepunkt macht sich in der Stammfunktion nur noch bemerkbar, dass die "Krümmung" innerhalb einer Kurve hier minimal ist. Mit "Krümmung" meine ich die Änderung der Steigung (also nicht den Kurvenradius). Bei y=x² ist diese z.B. konstant. Mit bloßem Auge kann man sowas also gar nicht mehr erkennen.

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Kommentar von hummelxy
05.01.2016, 13:15

Vielen Dank für die gute Antwort! :-)
Das "Ätsch-doch-kein-Wendepunkt" passt super dazu, vielen Dank!

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Integriere doch einfach x³. Da hast du einen Sattelpunkt, der übrigens nicht immer auf der x-Achse liegen muss, siehe z.B. x³ + 15. Bei x³ liegt er genau im Ursprung.
Die Integration ist leicht: x⁴ / 4    
Das ist eine Gleichung 4. Grades, enger als die quadratische Parabel mit dem Minimum (0|0). Das ist dort, wo bei x³ der Sattelpunkt sitzt.

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Kommentar von hummelxy
05.01.2016, 13:18

Aus deinem Beispiel wird der Sattelpunkt doch dann zum Extrempunkt??
Ich dachte jetzt, dass daraus ein "Doch-kein-Wendepunkt" wird?

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Nichts besonderes.

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Kommentar von hummelxy
05.01.2016, 00:20

Na' vielen Dank... Wenn beispielsweise bei x=2 bei f(x) ein Sattelpunkt ist, was ist dann bei F(x) bei x=2? Dort muss ja zwangsläufig etwas Extremales sein?

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Kommentar von hummelxy
05.01.2016, 00:38

Super, deine zweite und dritte Antwort hat mir jetzt doch sehr weitergeholfen! Gerade die Funktion, die du in dem Link bereitgestellt hast, hat es super verdeutlicht! Ich habe deine Funktion dazu kurz abgeleitet und zeichnen lassen - du hast Recht. Vielen Dank!

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