Wenn f' beim Ursprung eine Nullstelle und einen Extrempunkt hat, hat dann f dort einen Sattelpunkt?

Ja.

Denn wenn f'(x₀) = 0 ist und f' bei x₀ ein lokales Maximum hat, dann ist f'(x) < 0 für nahegelegene x rechts und links von x₀, d. h. f hat in der Nähe von x₀ negative Steigung, es geht also zunächst bergab, bei x₀ wird die Tangente von f waagerecht und dann gehts weiter bergab: also Sattelpunkt bei x₀.

Und wenn f' bei x₀ ein lokales Minimum hat, dann ist f'(x) > 0 für nahegelegene x rechts und links von x₀, d. h. f hat in der Nähe von x₀ positive Steigung, es geht also zunächst bergauf, bei x₀ wird die Tangente von f waagerecht und dann gehts weiter bergauf: also wieder Sattelpunkt bei x₀.

everysingleday hat recht. Wenn f´(x) in O ein Extremum hat, 

dann ist f´(0) = 0 und f´(x) hat links und rechts davon gleiches Vorzeichen, 

d.h. die Steigung von f(x) hat dort gleiches Vorzeichen, also Sattelpunkt.

Das ist richtig. Wenn der Graph von f' im Ursprung einen Extrempunkt hat, dann hat der Graph von f einen Sattelpunkt S(0|f(0)). Denn es sind folgende Bedingungen erfüllt: f'(0)=0 und die Steigungen des Graphen von f sind für x<0 und x>0 beide positiv oder beide negativ. Wenn der Graph von f' einen Extrempunkt hat, dann hat der Graph von f einen Wendepunkt. Wenn sich die Monotonie links und rechts von x=0 nicht ändert, dann muss es dort einen Sattelpunkt geben.

Notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt ist immer
f '(x) = 0 und f ''(x) = 0.

Die Mühe, das zweite nun wieder als Extremwert der abgeleiteten Funktion zu sehen, braucht man sich eigentlich gar nicht zu machen. Das entzieht sich eh dem Verständnis der meisten Funktionsdiskutierer.

Nicht notwendiger weise. Typischerweise lernt man an dem Gymmnasium folgende Regel:
f'=0 und f'' nicht Null, so ist es ein Extrempunkt. Wenn f''=0, so kann man nichts sagen.
Dies entspricht alles der Wahrheit, aber es gibt eine bessere Regel (Uni-Niveau):
Falls die erste bis zur n-ten Ableitung alle Null sind, die n+1 Ableitung nicht Null ist. Wobei n eine ungerade Zahl ist, dann ist es ein Extrem Punkt. Wenn n eine gerade Zahl ist, so ist es ein Sattelpunkt.

Konkret heisst das auf deine Frage: Du musst zuerst noch die 3 Ableitung betrachten, wenn diese ungleich Null ist, so ist es ein Sattelpunkt. Wenn diese jedoch auch Null ist, so musst du weitere ableiten, bis irgendwann mal etwas ungleich Null ist. Dann musst du schauen, ob die letzte Ableitung, die Null ist gerade ist, oder eben nicht. Wenn sie ungerade war, so ist es eine Extremstelle.