Man sagt für Allaussagen das wenn der erste Teil leer ist, so die darauf folgende Aussage immer wahr ist.
Beispielsweise: ∀ x ∈ { } : x ∈ M
Dies wäre ein Beispiel aus der Mathematik, die Aussage ist natürlich richtig. Es wird bei einer Allaussage ja nie eine Existenz vorausgesetzt, im Unterschied zur Existenzaussage.
Wenn jetzt da stehen würde:
∀ x ∈ { } : x ist doof
So ist die Aussage richtig.
Wenn da steht:
∀ x ∈ { } : x ist nicht doof
So soll die Aussage auch richtig sein.
Widerspricht sich doch. Also muss eine Aussage falsch sein, da die erste eindeutig richtig ist, muss die zweite Allaussage falsch sein. Nach der obrigen Annahme ist das aber falsch. Also ist die Annahme widerlegt?
Kann mir jemand nochmal genau erklären warum für solch eine Allaussage ∀ x ∈ { } : x: das was für x gilt immer richtig ist?
Nun zu Existenzaussagen. Zum ersten Beispiel wäre die Existenzaussage:
∃ x ∈ { }: x ∉ M
Die Aussage ist falsch. Man findet einfach kein x in { } das x nicht in M sein kann.
Bei jeder Existenzaussage geltet, das wenn eine Existenz vorausgesetzt wird die nicht existiert die Aussage für diese falsch ist. Klar, weil sie nicht existiert.
Daraus folgt auch das die Allaussage korrekt ist.
Nun zu: ∀ x ∈ { } : x ist doof
Die Existenzaussage dazu:
∃ x ∈ { }: x ∉ doof ist
Die Aussage ist falsch und damit eindeutig die Allaussage richtig.
Bei:
∀ x ∈ { } : x ist nicht doof bzw: ∀ x ∈ { } : x ∉ doof
Die Existenzaussage: ∃ x ∈ { }: x ∈ doof
Nach der Aussage das wenn die Existenz von etwas vorausgesetzt wird das nicht existiert, die darauf folgende Aussage falsch ist, wäre widerlegt wenn diese Aussage richtig ist. Wenn sie aber falsch ist, so wäre die Allaussage davon richtig und würde damit einer anderen widersprechen.
Klingt für mich paradox und leider weiß ich nicht mehr weiter, die Aussage müsste doch falsch sein. Irgendwie blicke ich da nicht ganz durch. Auf jeden Fall muss die Aussage eigentlich richtig sein. Scheint aber für mich eindeutig falsch zu sein.
Ich bedanke mich für jegliche Hilfe.
Nochmal alles im Überblick und meine konkreten Fragen:
∀ x ∈ { } : x ist irgendwas... Wieso immer richtig?
∀ x ∈ { } : x ist nicht irgendwas... Wieso immer falsch?
∃ x ∈ { } : x ist nicht irgendwas... Wieso immer falsch?
∃ x ∈ { } : x ist irgendwas... Wieso immer richtig?