Widersprichst sich in dem Fall nicht eine Allaussage (Logik)?

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Die Allaussagen sind alle richtig. Dein kleiner Fehler liegt darin, dass du denkst, dass die Aussagen sich gegenseitig ausschließen, was sie nicht tun!

Das Prinzip TND (Tertium non datur) besagt, dass genau eine der folgenden Aussagen richtig ist, entweder eine Aussage oder ihre Dualaussage. Bemerke, dass die von dir beschriebenen Allaussagen nicht dual zueinander sind, denn aus dem Allquantor würde ein Existenzquantor werden. Beide Allaussagen sind wahr, und beide Existenzaussagen sind falsch (weil sie die Dualaussagen der oberen wahren Aussagen sind, und weil sie die Existenz eines Elementes der leeren Menge vorhersagen).

Generell gilt immer: Für alle x element der leeren Menge: A(x), wobei A eine beliebige Aussage ist.

Würde dies nicht gelten, so wäre nach TND die Dualaussage wahr, diese würde lauten: Es existiert ein x element der leeren Menge (!): -A(x).

LG

Das ist dass Dilemma mit der leeren Menge.

∀ x ∈ { } : x ist (nicht) irgendwas...

Für alle x, die Elemente der leeren Menge sind, gilt...

Diese Elemente gibt es nicht.

Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder anderen Menge. Da sie keine Elemente enthält, ist die oben stehende Aussage immer wahr. Du kannst über die Elemente der leeren Menge (die es nicht gibt) nichts Falsches aussagen.

∃ x ∈ { } : x ist (nicht) irgendwas...

Es existiert ein x, das Element der leeren Menge ist.
Nein, das tut es nicht. Die leere Menge enthält keine Elemente, insofern ist diese Aussage falsch.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Ich versuche die Logikoperatoren mal in verständliches Deutsch zu übersetzen, vielleicht verstehst du dann, wieso dies so ist:

Die Leere Menge bezeichnen wir hier als: Alle Ecken einer Kugel (diese Menge ist leer).

Die Aussage ∀ x ∈ { } : x ∈ M Ist demnach: Für alle Ecken einer Kugel gilt: Der Ecken ist rot.
Diese Aussage ist sicher richtig, denn es gibt keinen Ecken einer Kugel, der eben nicht rot ist.
Aber auch die Aussage: ∀x ∈ { }: x ∉ M, also alle Ecken einer Kugel sind blau, denn es gibt ja keinen Ecken, der nicht blau ist.

Somit sind eben beide Aussagen wahr, obwohl sie sich zu widersprechen scheinen.

Das gleiche Spiel können wir noch mit dem Existenzoperator spielen:∃ x ∈ { }: x ∉ M

Es gibt einen Ecken der Kugel, welcher rot ist.
Diese Aussage ist sicher falsch, denn es gibt eben keinen Ecken der Kugel, ganz egal welcher Farbe.

Ich hoffe ich konnte das Problem ein wenig lüften. Meine Darstellung ist jedoch nicht ein Beweis, sondern vielmehr eine Motivation. Diese Aussagen lassen sich nicht beweisen, sondern sie werden in der Logik als Axiome angenommen.

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Es existiert ein Element in der leeren Menge, das nicht gilt...

Davon die Allaussage: Für Alle Elemente der leeren Menge gilt: jenes

Die erste Aussage ist falsch, das ist für mich verständlich. Da ja die leere Menge keine Elemente besitzt, existiert auch kein Element was die Aussage erfüllen könnte.

Die zweite Aussage soll richtig sein, total unverständlich. Ich kann sie mir zwar durch andere Wege trivial herleiten.

Aber es scheint das die Anderen die an sich so verstehen und ich eben nicht. Hauptsächlich verwirrt mich: Alle Elemente von der leeren Menge. Das geht doch nicht, so wird doch eindeutig impliziert das die leere Menge Elemente besitzen müsste damit die andere Aussage gilt. Tut es doch aber nicht, ex existiert kein Element.

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