Was haben Raum und Zeit denn gemeinsam?

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Raum und Zeit haben gemeinsam, dass es in ihnen Distanzen und Längen gibt, wobei zeitliche Längen üblicherweise als Zeitspanne oder Dauer bezeichnet werden, etwa zwischen zwei Ereignissen

(1) E₁(t₁| x⃗₁) = E₁(t₁| x₁₁| x₂₁| x₃₁) und E₂(t₁| x⃗₂) = E₂(t₂| x₁₂| x₂₂| x₃₂),

nämlich die Zeitspanne

(2.1) |Δt| = |t₂ – t₁|

und die räumliche Distanz

(2.2) |Δx⃗| = |x⃗₂ – x⃗₁| = √{∑ₖ₌₁³ (xₖ₂ – xₖ₁)²}.

Im Rahmen der altklassischen Mechanik ist der Raum von der Zeit abhängig, die Zeit aber nicht vom Raum.

Das Galilei'sche Relativitätsprinzip (RP) besagt, dass Bewegung relativ ist und die Naturgesetze in relativ zueinander bewegten Koordinatensystemen K und K' gleich sein müssen, sodass man jedes der beiden als ruhend betrachten darf. Sie werden mit den Galilei-Transformationen

(3.1) Δt'   = Δt
(3.2) Δx₁' = Δx₁ – v·Δt
(3.3) Δx₁ = Δx₁' + v·Δt' = Δx₁' + v·Δt

ineinander umgerechnet, wobei wir hier vorausgesetzt haben, dass x₁ die Bewegungsrichtung ist.

Die zeitliche Distanz zwischen den Eₔ (a=1,2) ist altklassisch unabhängig vom verwendeten Bezugssystem, d.h. davon, welches Koordinatensystem man als das ruhende betrachtet

Die räumliche Distanz ist hingegen nur dann eindeutig bestimmt, wenn die Eₔ auch gleichzeitig sind; anderenfalls gibt es immer auch ein Koordinatensystem, in dem sie »gleichortig« sind.

Die Gleichungen (3.1-3) lassen freilich die Lichtgeschwindigkeit c nicht unverändert. Die muss aber ebenfalls dem RP unterliegen, da die Lichtausbreitung mit c aus den Gesetzen der Elektrodynamik folgt, die als Naturgesetze ebenfalls dem RP unterliegen müssen. Dem tragen die Lorentz-Transformationen

(4.1) Δt'   = (Δt – (v/c²)Δx₁)/√{1 – (v/c)²} 
(4.2) Δx₁' = (Δx₁ – v·Δt)/√{1 – (v/c)²} 
(4.3) Δt   = (Δt' + (v/c²)Δx₁')/√{1 – (v/c)²}
(4.4) Δx₁ = (Δx₁' + v·Δt')/√{1 – (v/c)²}

Rechnung, die sich aus der Forderung c'=c herleiten lassen.

Aus (4.1-4) ist erkennbar, dass nicht nur der Raum von der Zeit abhängig ist, sondern auch die Zeit vom Raum. Falls die Eₐ nicht »gleichortig« sind, hängt ihre Gleichzeitigkeit respektive ihre zeitliche Distanz und ggf. sogar ihre zeitliche Reihenfolge vom verwendeten Bezugssystem ab.

Da c eine universelle Konstante ist, lassen sich zeitliche und räumliche Distanzen mit ihrer Hilfe auf natürliche Weise auf dieselbe Maßeinheit bringen. Mit

(5.1) x₀ := ct
(5.2) β := v/c
(5.3) γ := 1/√{1 – (v/c)²} = 1/√{1 – β²}

lassen sich (4.1-4) als

(6.1) Δx₀' = γ(Δx₀ – β·Δx₁) 
(6.2) Δx₁' = γ(Δx₁ – β·Δx₀) 
(6.3) Δx₀ = γ(Δx₀' + β·Δx₁')
(6.4) Δx₁ = γ(Δx₁' + β·Δx₀')

schreiben. Zudem ist per definitionem

(7.1) γ² – γ²β² ≡ 1,

weshalb es eine Größe ς namens Rapidität mit

(7.2) γ   = cosh(ς)
(7.3) γβ = sinh(ς)

gibt und sich (6.1-4) als

(8.1) Δx₀' = Δx₀·cosh(ς) – Δx₁·sinh(ς)
(8.2) Δx₁' = Δx₁·cosh(ς) – Δx₀·sinh(ς)
(8.3) Δx₀ = Δx₀'·cosh(ς) + Δx₁'·sinh(ς)
(8.4) Δx₁ = Δx₁'·cosh(ς) + Δx₀'·sinh(ς)

schreiben lassen,woraus ersichtlich ist, dass die Lorentz-Transformation »um« die Rapidität in der Raumzeit das ist, was im Raum eine Drehung um einen Winkel ist.

Dass hier Hyperbelfunktionen an die Stelle der trigonometrischen Funktionen treten, hängt mit der aus der Forderung der Invarianz von c folgenden Minkowski-Metrik (die eigentlich eine uneigentliche Metrik ist, da der Abstand zweier verschiedener Punkte gleich 0 sein kann, nämlich, wenn sie mit einem Lichtsignal verbunden sein könnten). Die Raumzeitliche Distanz der Eₐ ist

(9) d(E₁, E₂) = √{(Δx₀)² – Δx⃗·Δx⃗} ≡ √{(Δx₀')² – Δx⃗'·Δx⃗'},

wobei Δx⃗·Δx⃗ = ∑ₖ₌₁³ (xₖ₂ – xₖ₁)² ist.

Das Minuszeichen unterscheidet fundamental Zeit und Raum voneinander.

Manchmal wird die Zeit als eine Art imaginärer Raumdimension (im Sinne der »Kunst-Zahl« i mit i² = –1) behandelt, aber es ist eigentlich sinniger, die Raumdimensionen als imaginär zu betrachten, da die +x₁-Richtung und die –x₁ - Richtung gegeneinander austauschbar sind, die i und –i auch. Eigentlich ist die Zeit das Reelle.

Wenn man drei Raumdimensionen (x,y,z) und eine Zeitdimension (t) betrachtet, kann man alle vier als "linear unabhängig" betrachten. D.h. ich ändere z.B. x beliebig, das hat keinen Einfluss auf y, z oder t.

Mathematisch hat man dann ein "4er-Tupel" (x,y,z,t), das man als Beschreibung der sog. "Raumzeit" auffassen kann. Es definiert einen bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit.

In der Quantentheorie rechnet man oft mit solchen Tupeln. Es gibt auch den Begriff des sog. "Minkowski-Raums", auf Wikipedia kann man da etwas nachlesen, wenn man möchte. Auch die spez. Relativitätstheorie macht Gebrauch von diesen "vierdimensionalen" Räumen.

Nu ja, aber dass sie linear unabhängig sind, macht aus ihnen noch kein Ganzes. Einen Vierertupel konnte man in der altklassischen Mechanik auch schon bilden. Gleichwohl galten Raum und Zeit als unabhängig, obwohl dort bereits Raum von Zeit abhängig ist:

x' = x – vt

Das ist die Galilei-Transformation der Ortskoordinate in Bewegungsrichtung. Allerdings machen erst die Lorentz-Transformationen auch die Zeit ebenso abhängig vom Raum und damit endgültig und zwingend zu einer zusätzlichen Koordinate.

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Die theoretischen mehr oder weniger korrekten/verständlichen Antworten wurden bereits genannt. Ich möchte ein Beispiel bringen welches (nur bedingt richtig ist für alle Physiker) erklärt wie man sich das vorstllen kann.

Wenn ich mich bewege, so ändere ich in erster Linie meinen ORT, das heisst ich bewege mich im RAUM. Natürlich brauche ich für die Bewegung eine gewisse Zeit, meine Bewegung hat jedoch nicht wirklich einen Einfluss auf die ZEIT. Ich verändere nur meinen Standpunkt.

Aber wenn ich mich sehr sehr schnell bewege (sagen wir 200'000 km/s) so beinflusse ich damit auch die Zeit. Sie vergeht nicht mehr gleich schnell wie vorhin. Meine Bewegung im RAUM hat also einen Einfluss auf die ZEIT (meine Zeit). Das ist eines von vielen Beispielen, wie RAUM und ZEIT zusammenhängen.

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