warum hat eine funktion 5 grades 5 nullstellen?
Warum genau hat eine Funktion 5. Grades maximal 5 Nullstellen, 4 Extrempunkte und 4 Wendestellen?
Danke im Voraus :)
4 Antworten
Warum genau hat eine Funktion 5. Grades maximal 5 Nullstellen, 4 Extrempunkte und 4 Wendestellen?
Stimmt alles außer 4 WP ! es sind nur drei .
Fakt ist : siehe deine andere Frage
Warum hat eine Funktion 5 Grades 5 Nullstellen?
Eine Funktion von Grad 5 hat nicht 5 Nullstellen.
In reellen stimmt das nicht immer...
In komplexen stimmt es immer, wenn wir die Vielfachheit der Nullstellen mit einbeziehen...
In hyperkomplexen stimmt das auch nicht immer.
Warum genau hat eine Funktion 5. Grades maximal 5 Nullstellen, 4 Extrempunkte und [3] Wendestellen?
Hat sie nicht...
Z.B. Hat x^{5} + 1 in hyperkomplexen unendlich viele Nullstellen.
Betrachten wir es rein reell, dann ist das so, da Fundamentalsatz der Analysis / Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Nullstellen sind Nullstellen, Extremstellen sind die Nullstellen der Ableitung und Wendestellen sind die Nullstellen der Ableitung der Ableitung.
Beim Ableiten wird der Grad des Polynoms je natürlichen Ableitung um 1 kleiner, Umgekehrt wird der steigt der Grad des Polynoms je beim Bilden einer natürlichen Stammfunktion...
Hat eine lineare nicht konstante Funktion genau eine Nullstelle, dann hat eine quadratische Funktion in komplexen genau zwei Nullstellen, da ich diese quadratische Funktion als Linearfaktoren von zwei linearen Funktionen darstellen kann, was mit den Satz vom Nullprodukt bedeutet, dass jede Lösung der Linearfaktoren nach den Argument eine Nullstelle sind.
Da der Grad bei der je natürliche Ableitung immer 1 niedriger ist, ist auch die Anzahl der Nullstellen je natürliche Ableitung um 1 niedriger...
Das ganze können wir auf jeden Grad hochschaukeln, wodurch sich halt in reellen die allgemeine Regel ergibt:
"Eine Polynomfunktion des Grades n hat maximal n Nullstellen, maximal n-1 Extremstellen, maximal n-2 Wendestellen, [...]"
Eine Nullstelle kann man mit Polynomdivision rausdividieren. Dadurch verkleinert sich der Grad des Polynoms um 1. Dies kann man nur so oft machen, wie der Grad des Polynoms hergibt.
Die Ableitungsfunktion ist um einen Grad kleiner und die zweite Ableitung ist um zwei Grade kleiner, außer wenn man es sich dann schon um die Nullfunktion handelt. Ein notwendiges Kriterium für Extremstellen bzw. Wendestellen ist, dass an der Stelle die erste bzw. zweite Ableitung 0 ist. Darum kann es bei einem Polynom vom Grad n höchstens n - 1 Extremstellen und n - 2 Wendestellen geben.
Eigentlich genau 5 in C