Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat ja mindestens n nullstellen. Gilt diese Regel auch für Potenzfunktion wie x hoch 3?
Meine X ³ hat ja nur maximal eine Nullstelle
Danke für eure Hilfe!
4 Antworten
nicht mindestens sondern höchstens!
Potenzfunktionen der Form f(x) = a x^n mit festem n ∈ N und a ∈ R haben genau eine Nullstelle, nämlich x=0
Richtig.
Imaginäre Nullstellen sind für die meisten Schüler aber eher uninteressant.
Deine Aussage ist leider nicht ganz richtig. Gegeben sei das Polynom x^3. In Z mod 2Z (Also einem Körper mit nur 2 Elementen: [0] und [1]) hat die Polynomfunktion genau eine Nullstelle nämlich [0], da gilt [0]^3 = [0]. Es gilt aber [1]^3 = [1]. Die vom Polynom induzierte Polynomfunktion hat Grad 3, jedoch nur 1 NST.
Also hat sie eine Nullstelle, die eine dreifache Nullstelle ist, richtig?
Dann sollte ich mein Beispiel etwas abändern: Betrachten wir das Polynom x^2 + 1 und die induzierte Polynomfunktion in Z mod 2Z. Diese hat eine NST bei [1], da [1]^2 + [1] = [1] + [1] = [0]. Setzt man [0] ein erhält man [0]^2 + [1] = [0] + [1] = [1].
Also hat ein Polynom 2ten Grades nur eine Nullstelle. Diese ist auch keine doppelte, da x^2 + 1 über Z mod 2Z irreduziebel ist. Man kann also keine NST ausklammern
Induzierte Polynomfunktionen in zweielementigen Körpern dürften das Niveau des Fragestellers wohl etwas übersteigen. Der/die schlägt sich offenbar als Schüler mit den Basics von ganzrationalen Funktionen herum.
Da hast du wohlmöglich recht. In erster Linie wollte ich "AusMeinemAlltag"s Antwort richtigstellen.
höchstens n !
x^4 + positive Zahl hat gar keine NSt aus R , aber 4 wenn man die Zahlen zulässt bei den auch i² = -1 gilt ( die Zahlen aus C , den komplexen Zahlen )
mit ungeraden haben immer mindestens eine :
entweder drei einfache
oder
eine doppelte und eine einfache
oder
eine dreifache ( wenn die form ( x + Zahl ) ³ ist ( bei x³ ist die Zahl eben Null )
Wenn Du einen Unterschied zwischen ganzrationalen Funktionen und Potenzfunktionen (mit natürlichen Exponenten) siehst, dann lies bitte nochmal die Definitionen nach.
Meine X ³ hat ja nur maximal eine Nullstelle
Die Vielfachheit wird mitgezählt und x³ hat eine 3-fache Nullstelle bei x=0
Also hat sie eine Nullstelle, die eine dreifache Nullstelle ist, richtig?
Nicht ganz richtig. Das höchstens gilt nur für reelle Nullstellen.
Ein Polynom vom Grade n hat immer n Nullstellen, aber die können auch Mehrfachnullstellen, also mehrere wertidentische Nullstellen, oder imaginäre Nullstellen sein.