wieso ist da ein minus in der scheitelpunktform?

Wieso ist bei der Scheitelpunktform

f(x)=a(x-d)^2+e ein minus???

Man geht doch im koordinatensystem in den positiven bereich wenn d=5 ist. In der Scheitelpunktform steht dann aber -5 das ist voll komisch

Answer 1

[MeRoXas]

Man kann das nur so richtig verstehen, wenn man die Umformung von der Normalform in die Scheitelpunktform macht. Um ziemlich viel Termrechnung kommt man leider nicht herum:

$f(x)=ax^2+bx+c$

a ausklammern:

$=a\cdot (x^2+\cfrac{b}{a})+c$

Quadratische Ergänzung:

$=a\cdot (x^2+\cfrac{b}{a}+ (\cfrac{b}{2a})^2-(\cfrac{b}{2a})^2)+c$

Erste binomische Formel:

$=a\cdot ( (x+\cfrac{b}{2a})^2 - \cfrac{b^2}{4a^2}) + c$

Ausmultiplizieren:

$=a\cdot (x+\cfrac{b}{2a})^2 - \cfrac{b^2}{4a} + c$

Mit der Belegung d = -b/(2a) und e= -b²/(4a)+c kommt man dann auf die Scheitelpunktform.

Deine Frage ist ja nun, wieso man d so belegt, dass in der Scheitelpunktform -d und nicht +d vorkommt.

Schauen wir uns dazu mal die Nullstellen der Funktion an. Gemäß der Mitternachtsformel gilt für die Nullstellen x1 und x2:

$x_1=\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \text{ und } x_2= \cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt genau zwischen den beiden Nullstellen. Man muss also nur noch herausfinden, welche Zahl zwischen den beiden Nullstellen liegt. Allgemein macht man das ja, indem man die entsprechenden Werte addiert und das Ergebnis durch 2 teilt. Genau so geht es hier. Ich nenne den x-Wert des Scheitelpunktes mal d. Gaaanz zufällig. :>

$d=\cfrac{x_1+x_2}{2} = \cfrac{  \cfrac{ -b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} +  \cfrac{ -b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} }{2}$ Jetzt einfach etwas zusammenfassen. Man darf hier nur nicht mit den Brüchen durcheinanderkommen:

$d= \cfrac{\left(\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac} - b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)}{2}$ $d= \cfrac{-2b}{4a} = \cfrac{-b}{2a}$ ...und deshalb kommt in der Scheitelpunktform -d und nicht d vor. Das d, auf das man durch diese Mittelwertberechnung kommt, ist nämlich eben -b/(2a), aber in der Scheitelpunktform kommt +b/(2a) vor. Deshalb muss es in der Scheitelpunktform dann eben -d sein.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Answer 2

[DerRoll]

d stellt den x-Wert des SCheitelpunktes dar. Dieser wird erreicht wenn gerade x - d = 0 ist. Nun mache eine Fallunterscheidung. Sei d > 0. Dann ist x - d = 0 dann wenn auch x > 0. D.h. du gehst eben gerade in den positiven Bereich. Analog wenn d < 0. Um die Scheitelpunktform wirklich zu verstehen, muß das Termrechnen mit - entweder gut verstanden sein, oder du mußt halt die Form auswendig lernen und hinnehmen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 3

[Halbrecht]

wenn man y = x² um 5 nach rechts verschiebt ist der Scheitel bei (5/0)

bei y = x² ist für x = 7 der y-Wert 49
nach dem Verschieben soll aber bei x = 7 nicht 49 , sondern 4 stehen .

Das erreicht man in dem man ( x - 5 ) also ( 7 - 5 ) schreibt