Wieso benötigt man folgende Bedingung (Steckbriefaufgabe)?
Heyo, ich versuche ein wenig für meine kommende Mathearbeit zu lernen. Ich habe seit geraumer Zeit wirklich Probleme dem Unterricht zu folgen, da ich sehr schüchtern bin und ungerne nachfrage sobald etwas unklar ist. Deshalb versuche ich selbst ein wenig zu lernen mit Übungsaufgaben aus dem Netz.
Folgende Aufgabe habe ich gefunden bzw. möchte ich lösen:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse im Ursprung. Die Tangente im Punkt (-2|1) verläuft parallel zur Geraden y=2x-2. Finde eine Funktionsgleichung der gesuchten Funktion.
Ich war ein wenig ratlos, da man ja so viele Bedingungen wie Variablen benötigt. Bei einer Funktion 3. Grades sind es 4 Bedingungen und ich konnte nur 3 herauslesen. Deshalb habe ich einen kurzen Blick in die Lösung geworfen und herausgefunden das die Angabe "berührt die x-Achse im Ursprung" zwei Bedingungen enthält. Das wären einmal f(0)=0 und f'(0)=0, ich wollte fragen ob mir jemand erkären kann, wie die Bedingung f'(0)=0 zustande kommt.
Eine weitere Bedingung auf die ich nicht ganz gekommen wäre ist f'(-2)=2 für die Angabe "Die Tangente im Punkt (-2|1) verläuft parallel zur Geraden y=2x-2"
Bin echt ziemlich planlos
5 Antworten
Ein Graph, der den Ursprung berührt, schneidet ihn nicht. Ein Berührpunkt kommt nur durch ein Extremum an dieser Stelle zustande.
Extremwerte findest durch Nullsetzen der ersten Ableitung.
Nachtrag:
Für egal welche Aufgaben solltest immer zuerst eine Zeichnung/Skizze anlegen. Sie erleichtert die Vorstellung.
Zueinander parallele Geraden haben alle dieselbe Steigung. Bestimme also die Steigung der angegebenen Geraden, um die Steigung der Tangente im Punkt (-2 | 1) zu erhalten.
Eine Funktionsgleichung einer allgemeinen Funktion dritten Grades mit f(0) = 0 wäre
f(x) = a*x*(b*x^2 + c*x + d).
Nun mußt du dir anschauen wie sich diese Funktion um den Nullpunkt verhält wenn für das Polynom p in der Klammer p(0) <> 0 ist. Wir nehmen an p(0) > 0 (für p(0) < 0 gilt das folgende analog, der mathematische Fachausdruck dafür ist oBda für ohne Beschränkung der Allgemeinheit).
Für ein beliebig kleines x_0 > 0 gilt dann f(x_0) > 0 und f(-x_0) < 0, d.h. f berührt eben den Ursprung nicht, sondern geht durch ihn hindurch, wir müssen also die Forderung p(0) <> 0 fallen lassen.
Genau mit der selben Argumentation kannst du sehen, dass mit dem Ansatz
f(x) = a*x^2*(c*x + d) mit d <> 0
das gewünschte "Berühren" erreicht wird.
Eine lineare Funktion läuft parallel zu einer anderen, wenn beide die selbe Steigung haben. D.h. wenn die Ableitung als Steigung der Tangenten parallel zu einer Funktion mit Steigung 2 sein soll, muß sie am gewünschten Punkt den Wert 2 haben.
Wenn sich 2 Funktionen in einem Punkt berühren, oder eine Funktion wie hier in Deiner Aufgabe die x-Achse berührt (die x-Achse ist ja im Grunde auch der Graph einer Funktion, nämlich von f(x)=0), dann bedeutet das, dass diese beiden Funktionen in diesem Punkt dieselbe Steigung haben. Die x-Achse ist eine Gerade mit der Steigung Null, daher gilt bei x=0 (hier ist der Berührpunkt) zum einen f(0)=0 (wegen des Punktes (0|0)) und f'(0)=0 (wegen der Steigung 0 bei x=0).
Eine Tangente nennt man eine Gerade, die die Ursprungsfunktion in einem Punkt (ebenfalls) berührt, also dort die gleiche Steigung hat wie die gesuchte Funktion [somit ist auch quasi die x-Achse die Tangente der Funktion im Punkt P(0|0)]. An der Tangentengleichung kannst Du in Deinem Beispiel ablesen, dass die Steigung in dem Berührpunkt gleich 2 ist, somit gilt für die gesuchte Funktion an der Stelle x=-2 die gleiche Steigung, also "mathematisch" f'(-2)=2.
1) immer die Funktion aufschreiben und ableiten,dass ist nie falsch.
y=f(x)=a3*x³+a2*x²+a1*x+ao
f´(x)=3*a3*x²+2*a2*x+a1
f´´(x)=6*a3*x+2*a2
Berührungspunkt bei P1(0/0) ergibt f(0)=0+0+0+ao also ao=0
Bedingung für 2 parallele Geraden m1=m2 also Steigung bei Pt(-2/1) f´(-2)=m=2
1) f(-2)=1=a3*(-2)³+a2*(-2)²+a1*(-2) aus Pt(-2/1)
2) f´(-2)=2=3*a3*(-2)²+2*a2*(-2)+a1 aus f´(-2)=m=2
3) f´(0)=0=3*a3*0²+2*a2*0+a1 ergibt a1=0
Hinweis:Berührt der Graph nur die x-Achse,so muß eine Maximum oder Minimum vorliegen.Der Berührungspunkt ist eine doppelte Nullstelle !!
bleibt
1) f(-2)=1=a3*(-8)+a2*4
2) f´(-2)=2=3*a3*4+2*a2*(-2)
dieses lineare Gleichungssystem (LGS) schreiben wir nun um,wie es im Mathe-Formelbuch steht,wegen der Übersichtlichkeit
1) -8*a3+4*a2=1
2) 12*a3-4*a2=2
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) a3=0,75 und a2=1,75
gesuchte Funktion y=f(x)=0,75*x³+1,75*x²
Probe: f(-2)=0,75*(-2)³+1,75*(-2)²=1
Prüfe auf Rechen- u. Tippfehler.
Immer wenn die Funktion die x-Achse irgendwo berührt, hast du die 2 Bedingungen
f.... =0 und f '.....=0
f ' gibt immer die Tangentensteigung an und die x-Achse hat ja die Stg 0 .
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f '(-2) = 2
die Tangente bei -2 läuft parallel zu y=2x-2 (Stg m =2)