Wie viele kleine Kugeln passen in eine Große?
Ich habe folgende Aufgabe, bin mir aber nicht sicher ob meine Lösung richtig ist. Wie viele Fußbälle D=22cm passen in eine Kugel D=15m? Ich habe das Volumen der beiden ausgerechnet und dann das von der Kugel durch das vom Fußball geteilt. Mein Ergebnis sind 294525 Stück. Nun Zweifel ich aber da Bälle ja nicht den kompletten Raum ausfüllen.
4 Antworten
man kann so tun , als ob die Bälle perfekt passen würden ( als ABSCHÄTZUNG )
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4/3 * pi * (7.5)³ / (4/3 * pi * (0.11)³ ) = ca 316960
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Weil die Unterschiede der Alternativen bei b) so groß sind , ist 300 000 natürlich richtig
(30000 sicher zu wenig , 3000000 sicher viel zu viel )
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Obwohl die Bälle natürlich noch Luft dazwischen haben
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wie kommst du auf nur 294 000 ? irgendwo gerundet ?
Ich habe das Volumen der beiden ausgerechnet und dann das von der Kugel durch das vom Fußball geteilt.
Das ist ein sehr grober Ansatz der dir eine Grube annäherung an das Ergebnis gibt.
Nun Zweifel ich aber da Bälle ja nicht den kompletten Raum ausfüllen.
Diese Ungenauigkeit deines Ansatz hast du korrekt erkannt.
Die kleinen Kugeln können ein endloses vollkommen mit einer effizienz von 74% füllen. Berechne also nochmal mit nur 74% des Volumen deiner großen Kugel, dann erhältst du eine deutlich genauere Schätzung.
Ich habe mal ein Bild der Aufgabe ergänzt. Ich denke besser kann man die Aufgabe 150 nicht lösen….
Ja, für diese Aufgabenstellung hast du richtig gerechnet. Die Kugelpackung wird hier offenbar ignoriert, es soll ja auch nur eine Übung zum errechnen von Flächen und Volumen sein.
Ergänzend zu den anderen Antworten, könnte man sich das auch so überlegen:
Zuerst schaut man, wie viele Fußbälle in einen Würfel mit 15m Seitenlänge passen, wenn wir eine kubisch primitive Kugelpackung annehmen. Das bedeutet, die Fußbälle liegen exakt nebeneinander und übereinander, so als seien es kleine, gleich große Würfel.
In eine Kante passen 68 Fußbälle (1500cm/22cm = 68,18...), d.h. in den Würfel passen mindestens 68³ = 314432 Fußbälle.
Das Verhältnis von Kugelvolumen zu Würfelvolumen (=Packungsdichte von kubisch primitiven Kugelpackungen) liegt bei etwa 52,3%.
=> 0,523 * 314432 = 164.636
Wenn die theoretisch höchstmögliche Packungsdichte bei 74% liegt, könnten wir damit (0,74 * (7,5m)³/(0,11m)³) mindestens 234.551 Fußbälle unterbringen.
Also wird der wahre Wert irgendwo dazwischen liegen.
Das wird für die Aufgabenstellung aber viel zu kompliziert….
Ein paar Volumina auszurechnen sollte eigentlich keine große Schwierigkeit darstellen.
Eine Obergrenze hast du ja bereits richtig berechnet. Ich wollte darauf hinaus, dass man sich auch mal die Untergrenze anschauen sollte, um sicherzugehen, dass wir dabei nicht aus der Größenordnung fallen und vielleicht doch näher an der 30.000 sind als an der 300.000.
ja aber woher nehmen ich die Packungsdichte von 74%, steht diese im Tafelwerk. Es ist eine Matheaufgabe der 10. Klasse.
Wahrscheinlich nicht, nein. Die brauchst du aber auch gar nicht, denn eine Obergrenze hast du schon gefunden.
Eine Untergrenze lässt sich dagegen auch herleiten, ohne zu wissen, was eine Kugelpackung ist. Wie beschrieben: Wir vergleichen hier nur das Volumen einer Kugel mit dem Volumen eines Würfels.
Die dichteste Kugelpackung auf die in den anderen Antworten hingewiesen wird gilt aber streng genommen nur für unendlich ausgedehnte Objekte bei linearer bzw ebener Anordnung. Beides ist in der vorliegenden Fragestellung nicht gegeben. Deshalb kann auch eine Lösung bei der diese dichteste Kugekpackung angenommen wird, nur als Näherungslösung akzeptiert werden.
Da ja eine ungefähre Antwort angekreuzt werden soll, kann die Berechnung so bleiben 😉 Danke für die Antworten.