Wie lautet die Rechnung von Pi?

Wie lautet die Rechnung von Pi?

Es kann doch nicht sein, dass behauptet, Pi kann man berechnen, wenn aber Keiner die Rechnung von Pi vorlegen kann.

Z. B.:

7 : 2 = 3,5

Und bei Pi?

? : ? = Pi bzw. ~ 3,14

Oder wie?

Und da fehlt es mir an Logik. Wie wollt ihr denn eine Zahl hinter dem Istgleich angeben, wenn es keine Rechnung dazu gibt? Oder denkt ihr euch einfach die Zahl(en) hinter dem Istgleich und hinter dem Komma aus, und behauptet, ihr habt Pi ausgerechnet?

Gut, das kann ich auch behaupten:

? : ? = Pi bzw. 7,43132959697048535970055869609700487365389505976363749

Seht ihr? Ich hab Pi bis zur allerletzten Kommastelle ausgerechnet ;)

Answer 1

[DerRoll]

Um das zu verstehen, mußt du zumindest den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen verstehen. Fang einfach mal mit dem Beweis an, dass sqrt(2) keine rationale Zahl sein kann. Der ist sehr einfach, auch mit Schulwissen der 10. Klasse zu verstehen und findet sich hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_der_Irrationalit%C3%A4t_der_Wurzel_aus_2_bei_Euklid

Dennoch gibt es eine (sogar viele) Berechnungsvorschriften für sqrt(2).

Bei pi ist es sogar noch komplizierter. Pi ist nicht nur irrational, sondern sogar transzendent, d.h. sie ist keine Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten (sqrt(2) ist z.B. Nullstelle von p(x) = x^2 - 2).

https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl

Dennoch gibt es viele verschiedene Methoden, pi auf beliebig viele Stellen genau zu berechnen. Sie haben aber alle eines gemeinsam, sie kommen nicht in endlicher Zeit zu einem Abschluß.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 2

[Willibergi]

Für Pi existieren viele äquivalente Definitionen. In Schulkreisen gibt man sich oft mit der geometrischen Definition zufrieden: Pi ist der Proportionalitätsfaktor bezüglich Umfang und Durchmesser eines Kreises (jedes Kreises). Dass dieses Verhältnis konstant ist, kann man auch relativ fix beweisen, ist aber in aller Regel zu Schulzwecken dann auch genug.

Geht es dann irgendwann formaler zu, stößt man mit der geometrischen Definition an ihre Grenzen. Sie ist ungenau, unhandlich und vor allem unpraktisch. In der Analysis greift man dann oft beispielsweise auf eine trigonometrische Definition zurück, die auf dem Lemma

$\exists!\zeta\in\left(0,2\right):\cos\zeta=0$

basiert, wobei der Kosinus über die Taylorreihe

$\cos:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto\sum_{n=0}^{\infty}\left(-1\right)^n\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}$

definiert ist. Man definiert dann weiter

$\pi:=2\zeta$

(Zeta ist in dem Intervall eindeutig) und hat damit einen formalen Stützpunkt, wenn es um Pi geht (möglich ist die Definition natürlich auch mit dem Sinus, die gegebene ist aber üblicher). Häufig findet man sonst auch Definitionen von Pi über die Leibniz-Reihe

$\pi:=4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^k}{2k+1}$

Das sind die üblichsten Definitionen. Äquivalente Darstellungen über Folgen und Reihen gibt es etliche, etwa die von Vieta, definiert durch eine Folge

$a_1:=\frac{\sqrt{2}}{2},\ a_{n+1}:=\frac{\sqrt{2+2a_n}}{2}$

deren Produkt der Folgenglieder entsprechend konvergiert,

$\prod_{i=1}^na_i=\frac{2}{\pi}$

oder die eulersche Reihendarstellung

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$

wobei mir die in Definitionen noch nicht wirklich begegnet sind.

Das Credo: Niemand denkt sich die Darstellung von Pi aus und es gibt genug Definitionen, die präzise "ausdrücken", was Pi für eine Zahl ist. Die Eigenschaften von Pi mögen wirr und kontraintuitiv erscheinen und die Zahl vielleicht auch ein bisschen seltsam. Letztlich ist die Definition eben nicht ganz so einfach wie bei vielen anderen Dingen, vor allem weil die meisten den Schulstoff übersteigen und daher in der Schule nur die geometrische Definition behandelt wird, die es ein bisschen schwer macht, sich Pi als Zahl tatsächlich vorzustellen. Aber dass es keine "Rechnung" zu Pi gibt, stimmt nicht ;-). Noch frohe Weihnachtstage dir.

LG

Answer 3

[KKKKKKK]

Pi = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ... usw., aber nicht aufhören!

Du kannst ja mal mit dem Taschenrechner die ersten hundert Schritte ausrechnen. Dies ist die einfachste arithmetische Darstellung von pi, es gibt Verfahren, die komplizierter aussehen, aber schon nach wenigen Rechenschritten näher an pi herankommen. Die Zahl selber lässt sich nicht als Bruch oder durch Wurzeln darstellen, die Nachkommastellen hören nie auf und werden auch nicht periodisch. Wurzel aus 2 läßt sich mit dem Wurzelzeichen schreiben, genau so wie pi mit dem pi-Zeichen, aber wenn du Wurzel 2 als Kommazahl schreiben sollst, wirst du auch - wie bei pi - nie fertig, es wird auch nicht periodisch.

Answer 4

[whgoffline]

Hier eine schnelle Implemetireung meinerseits der Leibniz Formel zur Berrechnung von PI.

https://onlinegdb.com/Hk9eS3118

Einfach auf Run druecken

https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe

Answer 5

[Knochendochen13]

Es kann doch nicht sein, dass behauptet, Pi kann man berechnen,

Niemand behauptet, man könne Pi berechnen. Man kann sich Pi immer nur weiter annähern.

Comments

[bergquelle72]

endlich eine wirklich richtige Antwort

[gogogo]

@bergquelle72

Dem schließe ich mich an.

[Wechselfreund]

@bergquelle72

Nur zum Teil ;)

Niemand behauptet, man könne Pi berechnen.

Offensichtlich doch, siehe einige Antworten.