Wie komme ich auf diese Extremalprobelem Lösung?
Die Aufgabe lautet:
Aus einem Stück Draht der Länge 72 [cm] sollen die Kanten eines Quaders geformt werden, dessen Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten-längen a bzw. 2a ist.
Berechnen Sie zunächst das Volumen V(a) des Quaders in Abhängigkeit von der Länge a.
Das Ergebnis war V(a)= 36a^2 - 6a^3 komme aber nicht drauf
Muss ja erst die Formel aufschreiben und dann einsetzen.
V = h*b*l (höhe, breite, länge)
V= 72*a*h
glaube aber ich setze schon falsch ein.
2 Antworten
Du stellst zunächst 2 Gleichungen auf:
(1) V = 2a * a * h // also deine Grundfläche 2a * a und das mal die Höhe h.
(2) 4a + 4*2a + 4h = 72 // das ist die Summe aller Kanten. Die werden ja aus dem Draht gebastelt und der ist 72cm lang.
Jetzt nehmen wir die zweite Gleichung (2) und vereinfachen diese:
4a + 4*2a + 4h = 72
4a + 8a + 4h =72
12a + 4h = 72 | -12a
4h = 72 - 12a | :4
h = 18 - 3a
OK, jetzt wissen wir noch immer nicht genau, wie lang h ist, aber wir könnten h berechnen, wenn wir a hätten. Wenn wir nun dieses Ergebnis in (1) einsetzen, dann können wir h wegbekommen.
(2) V = 2a * a * (18 - 3a) // wir ersetzen hier das h durch (18 -3a)
// dann alles ausmultiplizieren und so kommen wir auf
V = 36a² - 6a³
Die Grundfläche ist 2a^2, die Höhe ergibt sich aus dem noch verfügbaren Draht zu
(72 - 2 * (2a + 4a) ) / 4 = 18 - 3 a
Das Volumen ist dann 2a^2 (18 - 3 a)