Wie ist der Rechenweg zu folgender Aufgabe?
Hallo zusammen,
ich bin hier gerade am verzweifeln.
Es geht um folgende Aufgabe:
Die angegeben Terme geben den Oberflächeninhalt eines Quaders mit quadratischer Grundfläche an.
Bestimme die Länge, Breite und Höhe des Quaders in Abhängigkeit der Variablen a und b.
a) O= 2a^2 + 8ab
b) O= 16a^2 + 16ab
c) O= 10a^2b^2
(^2 = hoch 2 bzw. Quadrat)
Die Lösungen sind:
a) Länge: a, Breite: a, Höhe: 2b
b) Länge: 4a, Breite: 4a, Höhe: b
c) Länge: ab, Breite: ab, Höhe: 2ab
Ich weiß nicht, wie man an diese Aufgabe rangeht, bzw. wie der Rechenweg ist.
Es wäre super, wenn jemand helfen würde, danke und Grüße
3 Antworten
Ein Koeffizientenvergleich hilft.
O = 2 * x² + 4 * x * y
mit Länge = Breite = x und Höhe = y
Ein Beispiel:
10 * a² * b² = 2 * x² + 4 * x * y
2 * a² * b² + 8 * a² * b² = 2 * x² + 4 * x * y
2 * (a * b)² + 4 * a * b * 2 * a * b = 2 * x² + 4 * x * y
Länge = Breite = x = a * b
2 * (a * b)² + 4 * (a * b) * (2 * a * b) = 2 * x² + 4 * x * y
Höhe = y = 2 * a * b
Ist die Grundfläche des Quaders quadratisch, dann muss auch die gegenüberliegende Seite quadratisch sein, d. h. Du hast 2 quadratische Flächen und dazwischen rundherum 4 weitere Flächen, deren Breite die gleiche Länge hat wie die Seiten der Quadrate und eine Höhe die davon abweichen kann, d. h. O=2*Quadrat + 4*Rechteck.
D. h. bei a) O=2a²+8ab stehen vorne die beiden quadr. Flächen, die zusammen 2a² ergeben und dahinter die 8ab entsprechen den 4 Rechtecken. Das bedeutet doch, dass wenn 2 Quadrate 2a² entsprechen, dann ist ein Quadrat die Hälfte davon, also a². Und die Seitenlänge dieses Quadrats ist dann die Wurzel daraus, also a. Die 8ab steht für die 4 Rechtecke dazwischen, d. h. 1 Rechteck hat die Größe 8ab:4=2ab. Die Breite muss aufgrund der Quadrate gleich a sein, also muss die Höhe 2ab:a=2b sein.
Gehst Du so mit den gleichen Überlegungen bei b) vor, wirst Du feststellen, dass die angegebenen Lösungen falsch sind...
b) O=16a²+16ab - d. h. 16a² entspricht den beiden Quadraten, also: 1 Quadrat=8a², daraus folgt, dass eine Seite Wurzel(8)*a groß sein muss, nicht 4a!! Und 16ab für die 4 Seitenflächen bedeutet, dass eine Seite 16ab:4=4ab groß sein muss. Da die Breite Wurzel(8)*a ist, muss die Höhe 4ab:(Wurzel(8)*a)=4b/Wurzel(8)=Wurzel(2)*b.
Als Probe kannst Du ja die Oberfläche mit den gegebenen Lösungen durchrechnen:
O=2*(Länge*Breite)+4*(Breite*Höhe)=2*4a*4a + 4*4a*b = 32a²+16ab - passt nicht zur Vorgabe
mit "meinen" Ergebnissen:
O=2*Wurzel(8)a*Wurzel(8)a + 4*Wurzel(8)a*Wurzel(2)b
=2*8*a² + 4*Wurzel(16)*ab = 16a² + 4*4ab = 16a²+16ab - passt
Ich würde erst mal die allgemeine Formel für die Quaderoberfläche aufstellen und schauen, wie die angegebenen Formeln dazu passen.
Wir haben ja jeweils zwei Flächen (vorne / hinten, oben / unten, links /rechts), die von zwei der drei Seiten begrenzt sind.
Wenn diese Seiten x, y und z sind (damit wir nicht mit den Variablen a und b durcheinanderkommen), wäre das also:
O = 2 (xy + yz + zx) = 2xy + 2yz + 2xz
Wenn man einen Quader mit quadratischer Grundfläche hat, bedeutet das, dass zwei der drei Seiten gleich sind. Z.B. wäre dann z=x.
Einsetzen und vereinfachen:
O = 2xy + 2yx + 2xx = 4xy + 2x²
Jetzt kannst du die Formeln gleichsetzen und musst schauen, wie du es hinbekommst, dass die beiden Sachen gleich sind.
Hinweis: Weil eine der Seiten als Quadrat vorkommt, kann man schauen, wo bei der anderen auch das Quadrat ist.
Im Falle Beispiels 1 ginge das so:
4xy + 2x² = 2a² + 8ab
Das ist noch sehr einfach, weil man auf beiden Seiten einen quadratischen Term und einen gemischten Term hat.
2x² muss also 2a² entsprechen und 4xy muss 8 ab entsprechen.
Wenn 2x²=2a² ist, kann man direkt ermitteln, dass x=a gelten muss.
Das kannst du jetzt für den anderen Term nutzen und die Beziehung zwischen y und b herausfinden.
Versuche mal, ob du das für die anderen Teilaufgaben hinbekommst.
Noch ein Tipp für c): Das ist ein bisschen tricky, aber du musst dir überlegen, unter welchen umständen man die Summe 4xy+2x² zusammenfassen kann (weil du mit 10a²b² ja nur einen Term hast).