Wie kann ich mit Zirkel und Lineal aus einen vorgegebenen Kreis ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt konstruieren?

...komplette Frage anzeigen

4 Antworten

Das ist ein geometrisch unlösbares Problem aufgrund der sog. Quadratur des Kreises.

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratur_des_Kreises

Da π ja leider Gottes transzendent ist, geht das einfach nicht. Wie willst du auch beispielsweise eine Strecke der Länge π konstruieren?

Paguangare 27.02.2017, 16:50

So genau kann man sowieso nicht auf Papier zeichnen. Da reichen doch bestimmt die ersten drei Nachkommastellen.

1
Willibergi 27.02.2017, 16:51
@Paguangare

Das ist ein anderes Thema. Aber wir sprechen von einer Konstruktion - und die ist nicht möglich.

Natürlich könnte ich dir ein Quadrat zeichnen, dass fast genau denselben Flächeninhalt wie ein Kreis hat, aber das wäre nicht konstruiert.

1
Paguangare 01.03.2017, 06:23
@Willibergi

Und wann ist das Hantieren mit Lineal und Zirkel ein "Konstruieren", und wann nicht?

0

Das wäre dann die Quadratur des Kreises.

Annähernd kann man rechnen:

Fläche des Kreises = A(1) = π * r²

und Fläche des Quadrats = A(2) = a²

Also beträgt die Seitenlänge des Quadrats:

a = Wurzel (π) * r = Wurzel (π) * d/2

Wenn du den Kreis gezeichnet hast, kannst du seinen Durchmesser messen. Diesen muliplizierst du dann mit Wurzel(π)/2,also mit ungefähr 0,88622 und erhältst damit die Seitenlänge des Quadrats.

Wenn das Lineal eine Skala hat, kannst du damit diese Länge auf einer Linie abtragen.

Zur Konstruktion eines rechten Winkels müsste es auch noch irgendeinen Trick geben, wenn man nur ein Lineal und einen Zirkel, aber kein Geodreieck zur Verfügung hat. Aber vielleicht reicht es auch, den rechten Winkel abzuschätzen oder kariertes Papier als Unterlage zu nehmen.

gilgamesch4711 27.02.2017, 17:20

 Der rechte Winkel entspricht der imaginären Einheit " i " Und i ist Wurzel des Polynoms

   f  (  x  )  :=  x  ²  +  1    (  1  )

   somit entsteht i aus einer quadratischen Körpererweiterung.

  wie konstruiert man einen rechten Winkel? Bekannt ist, wie du ein Dreieck konstruieren musst, wenn du vom Kongruenzsatz SSS ausgehst ( Grundkonstruktion )

   Pytagoreisches Tripel; ich setze

     a = 3 , b = 4 , c = 5     (  2  )

   ( Ganze Zahlen sind immer konstruierbar. )

0
schmidtmechau 28.02.2017, 08:04

Hallo Panguangare!

Einen rechten Winkel mit Zirkel und Lineal zu konstruieren, ist recht einfach! Du schlägst mit dem Zirkel zwei Kreise, deren Mittelpunkte an beliebigen Punkten auf einer Geraden liegen und die sich oberhalb und unterhalb der Geraden schneiden. Dann verbindest Du die beiden Schnittpunkte und schon hast Du einen rechten Winkel.

Gruß Friedemann

0

  Du müsstest dich jetzt schlau machen auf dem Geiet der Polynomalgebra. Das eindeutig beste Skript, das ich je gelesen habe, stammt von ===> Otto Haupt; Göttingen. Als Klassiker würde ich bezeichnen Artin und v.d. Waerden.

   Worum es hier geht, ist das Gebiet der ===> Körper-Erweiterungen. Geh mal davon aus, dass die vier Grundrechnungsarten unbeschränkt konstruierbar sind mit Zirkel und Lineal.

   aber es geht eindeutig noch mehr. Z.B ist es doch möglich, einen Winkel mit Zirkel und Lineal zu halbieren; dies ist äquivalent der Aufgabe, aus einer ( komplexen ) Zahl die Quadratwurzel zu ziehen.

   An sich lassen sich also auch irrationale Größen konstruieren. Es müssen eben nur Quadratwurzeln sein; denk an die Diagonale des Einheitsquadrats; das ist Wurzel ( 2 )

   Wir intressieren uns insbesondere für |Z [ x ] , damit meine ich die Menge aller ===> Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Die wurzeln dieser Polynome heißen ===> algebraische Zahlen ( AZ ) 

   Aber wir hatten schon gesehen: Nicht alle AZ lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren. Sondern nur Quadratwurzeln.

   Das Gegenteil von AZ ist ===> trtranszendente Zahl. AZ sind übrigens ===> abzählbar ( weil ja die Koeffizienten es sind. ) Damit sind aber " fast " alle reellen Zahlen transzendent.

   Nach dem Gesagten ist es nicht möglich, transzendente Zahlen mit Zirkel und Lineal zu konstruieren. ===> Ferdinand Lindemann bewies im Jahre 1898, dass Pi transzendent; er entschied damit eine über 2 000 jährige Kontroverse. Bis zuletzt hatten sich die verschiedensten Vermutungen gehalten, vielleicht geht es doch.

   Heute hat dieses Problem nur die aller schlechteste Presse; warum darf ich nicht analog dem Gordischen KLnoten n her gehen und die Kreislinie mit der Beißzange aufknipsen? Frau Gumboldt beschied mich

  " Weil eine Zange weder ein Zirkel noch ein Lineal ist ... "

   In derA nalysis bereitet uns die Existenz von Pi überhaupt kein Kopfzerbrechen; die Kreislinie ist ===> rektifizierbar.

gilgamesch4711 27.02.2017, 17:12

  Noch zu dem Tema " gordischer Knoten. " Meine Kollegen unkten ja, die Augsburger Puppenkiste sei allemal Building für Ingenieure; na da hoffe ich doch, auch für Matematiker.

   Aus Bill Bo; der wahnsinnige " Oheim " Don Josefo residiert auf Burg Dingelstein. Das Echo scheint er für missgünstige Gespenster zu halten

  " Wenn Alexander Magnus "

   " Nusnusnus ... "

    " Den gordischen Knoten entzwei hieb "

    " hihihi ... "

    " mit den Worten: Gleich viel "

    " vivivi ... "

    " Gelöst oder entzwei gehauen.  Und er gleichwohl "

   " wohlwohlwohl ... "

   " Beherrscher von ganz Asien wurde "

   " Dededede  ... "

   " Jawohl; wurde ... "

   " Dededede  ... "

   " Don Josefo; mäßigt euch ... "

   Noch bei ===> Loriot macht ein Erwin LINDEMANN deh Hauptgewinn im Lotto und geht damit über die Wupper ...

0

Die

Quadratur des Kreises

ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten

Rektifikation des Kreises

, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Dies wiederum entspricht der Konstruktion der Kreiszahl

π

aus der Strecke 1. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, so ist die Aufgabe aufgrund der Transzendenz von

π

unlösbar. Diese konnte im Jahr 1882 vom deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden.

Was möchtest Du wissen?