Wie kann ich diese Stammfunktionen angeben?

Hallo,

ich würde gerne wissen, wie ich bei den letzten beiden Aufgaben, die Stammfunktion angeben soll. Wenn es geht, bitte genauer erklären, da mir das Verständnis wichtiger ist, als nur die Lösung an sich. Es würde mich sehr helfen und ich wäre wirklich dankbar.

Answer 1

[mihisu]

Zunächst einmal solltest du die Potenzregel kennen, wonach zu...

$f(x)=x^{k}\quad \text{ mit }k\ne -1$

eine Stammfunktion durch

$F(x)=\frac{x^{k+1}}{k+1}$

gegeben ist. [Bei Potenzfunktionen kann man also den Exponenten um 1 erhöhen und dann durch den neuen Exponenten dividieren.]

Bei Teilaufgabe f) kann man auch die Quadratwurzel und die Potenz im Nenner so umformen, dass man diese Potenzregel anwenden kann.

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Bei Teilaufgabe e) kommt cos(5x) vor.

Das Bilden einer Stammfunktion ist im Grunde die Umkehrung zum Ableiten.

Dir sollte bekannt sein, dass sin(x) abgeleitet cos(x) ergibt. Dementsprechend könnte man auf die Idee kommen, dass man bei cos(5x) auch irgendwas in Richtung sin(5x) als Stammfunktion erhält. Allerdings erhält man beim Ableiten von sin(5x) wegen der Kettenregel noch einen Faktor 5 beim Nachdifferenzieren. Das kann man aber ausgleichen, indem man statt sin(5x) dann 1/5 ⋅ sin(5x) verwendet. Dann heben sich beim Ableiten die Faktoren 1/5 und 5 gegenseitig auf, sodass nur noch cos(5x) übrig bleibt.

Also ist durch 1/5 ⋅ sin(5x) ein möglicher Stammfunktionsterm zu cos(5x) gegeben.

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Es gibt immer unendlich viele Stammfunktionen zu einer vorgegebenen Funktion f. Denn man kann zu einer Stammfunktion immer eine Konstante C addieren und erhält wieder eine Stammfunktion. Denn beim Ableiten fällt diese additive Konstante dann weg, sodass man dann wieder die gleiche Funktion f erhält.

Wenn man eine Stammfunktion F₀ gegeben hat, so sind alle weiteren Stammfunktionen durch

$F_C(x)=F_0(x)+C$

mit beliebiger Konstante C gegeben.

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

------ e) ------

$f(x)=4hx^5+\cos(5x)$

Funktionsgleichung einer möglichen Stammfunktion...

$F(x)=4h\cdot \frac{x^6}{6}+\frac{1}{5}\cdot \sin(5x)$

$F(x)=\frac{4}{6}\cdot h\cdot x^6+\frac{1}{5}\cdot \sin(5x)$

$F(x)=\frac{2}{3} h x^6+\frac{1}{5}\cdot \sin(5x)$

Alle möglichen Stammfunktionen sind durch...

$F_C(x)=\frac{2}{3}hx^6+\frac{1}{5}\cdot \sin(5x)+C$

... mit beliebiger Konstante C gegeben.

Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, da es unendlich viele Möglichkeiten für die additive Konstante C gibt.

------ f) ------

$f(x)=\sqrt{x}-\frac{6}{x^7}$

$f(x)=x^{\frac{1}{2}}-6\cdot x^{-7}$

Funktionsgleichung einer möglichen Stammfunktion...

$F(x)=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-6\cdot \frac{x^{-7+1}}{-7+1}$

$F(x)=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\quad\frac{3}{2}\quad}-6\cdot \frac{x^{-6}}{-6}$

$F(x)=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+x^{-6}$

Alle möglichen Stammfunktionen sind durch...

$F_C(x)=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}+x^{-6}+C$

... mit beliebiger Konstante C gegeben.

Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, da es unendlich viele Möglichkeiten für die additive Konstante C gibt.

Comments

[Sadnessgirl]

Danke, dass du dir die Zeit genommen hast mir zu antworten. Es hat mir sehr geholfen. Wünsche dir noch einen schönen Tag.

Answer 2

[Halbrecht]

Armes armes sadnessgirl

f)

kannst du x^5 integrieren ? 

1/6 * x^6 ? 

.

so läuft es auch mit Wurzel, nur schreibt man die erst so 

x^0.5

ergo

1/(0.5+1) * x^(0.5+1)

2/3 * x^(3/2)

letzteres ist die Wurzel aus x³

.

mit -6*x^-7

verfahre wie bei d)

.

e)

h ist bloß ein Parameter, der bleibt wie er ist 

4*1/6*h*x^6

.

leite sin(x) ab 

cos(x) 

aha

int cos(x) also sin(x)

und die 5 ? 

1/5 * sin(5x)

prüfe durch ableiten

Comments

[Sadnessgirl]

Dankeschön für deine Antwort.

Answer 3

[verreisterNutzer]

Das +C am Ende lasse ich weg.

Aufgabe e) Für die Integration des cos(5x) erspare ich mir hier die Substitition v(x) = 5x, denn es ist allzu offensichtlich, dass beim Nachdifferenzieren der Faktor 5 entstehen würde und daher durch 1/5 kompensiert werden muss.

$F\left(x\right)=\frac{4}{6}hx^6+\frac{1}{5}\sin\left(5x\right)\ =\frac{2}{3}hx^6+\frac{1}{5}\sin\left(5x\right)$

Aufgabe f) Umschreiben und mit der Regel

$\int x^r\ dx\ =\ \frac{1}{r+1}x^{r+1}$

integrieren

$f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}-6x^{-7}\ \to F\left(x\right)=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+x^{-6}$