Stammfunktion bilden aus Partialbruchzerlegung?
Nur die letzte Aufgabe F(x) habe ich probleme auf die Lösung draufzukommen, brauche unbedingt hilfe.
Danke
4 Antworten
Hallo,
zunächst hat die Lösung einen Vorzeichenfehler. Vor dem zweiten Bruch muß ein
Plus stehen, kein Minus.
Der Nenner des zweiten Bruchs läßt sich zu x²+4x+4+9=(x+2)²+3² umformen, so daß Du als Bruch 4*1/[(x+2)²+3²] bekommst, also 4*dx/[(x+a)²+b²].
Dazu findet sich in einschlägigen Integrationstabellen die Stammfunktion
4*(1/b)*arctan [(a+x)/b] mit a=2 und b=3.
Die beiden Brüche sind dadurch entstanden, daß man im Zähler -6x-8 zunächst eine 4 abgezogen und danach sofort wieder dazugezählt hat.
So bekommt man -6x-12+4 und kann den Bruch danach in zwei Brüche aufteilen, so daß im zweiten Bruch im Zähler kein x mehr vorkommt und man im ersten Bruch -6 ausklammern kann, so daß der Zähler nun -6*(x+2) lautet.
Wandelt man den Nenner wie im zweiten Bruch zu (x+2)²+9 um, kann man nun x+2=u substituieren. Substitutionsausgleich ist hier nicht nötig, da die Ableitung von x+2 1 lautet.
So bekommst Du -6u/(u²+9).
Als zweite Substitution setzt Du v=u²+9 mit dv/du=2u und du=dv/(2u).
Nun kannst Du -6u gegen 2u kürzen und kommst auf den Zähler -3 und den Nenner v.
Die Stammfunktion zu -3/vdv lautet -3*ln|v|+C.
Einfach Rücksubstitution v=u²+9 und u=x+2 ergibt als Stammfunktion für den linken Bruch -3*ln|x²+4x+13|+C.
Der rechte Bruch ergibt sich wie beschrieben aus einer einfachen Umwandlung und einem Blick in die Tabelle. Das war's dann auch schon.
Herzliche Grüße,
Willy
Für die gegebene Funktion gibt es eine tabellierte Stammfunktion
Nun mag man sich daran stören, dass diese Lösung ihrerseits wieder ein Integral enthält für das es aber auch eine tabellierte Stammfunktion gibt. Das will der Aufgabensteller sich aber ersparen, in dem er die Konstante C, die ja in unserem Fall eigentlich bereits auf den Wert C = -8 festgelegt ist, so verändert, dass die runde Klammer (C - pB/2) verschwindet.
Ach wie schön wäre es wenn C = -12 wäre, dann hätten wir ein leichtes Leben. Nun wird der Integrand auf Gedeih und Verderb so hingedreht, dass C = -12 da steht.
Der erste Summand tut uns nun den Gefallen, dass er die gefällige Form annimmt. Aber der zweite Summand nötigt uns nun das Aufsuchen einer anderen Stammfunktion auf, die wir ja partout vermeiden wollten.
Die Lösung in der Aufgabenstellung enthält somit auch ein falsches Vorzeichen vor 4/3.
Kennst du diese Seite?
https://www.integralrechner.de/
Und zum ersten Bruch ist mir dunkel in Erinnerung: Wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht geht es über den ln. Das kann man hier über ausklammern von -3 erreichen.
Hi,
hier hast Du ja bereits die Anleitungen wie hier vorzugehen ist.
Soll es heißen Du kannst die Vorgänge nicht nachvollziehen?
Ja, das ist nicht einfach und auch nicht leicht zu erklären.
Versuch es mit dieser Webseite, da kannt Du die Funktion eingeben und es wird auch erklärt (Schritt für Schritt).
Darfst gerne noch mal fragen, wenn Du auch da nicht klar kommst.
LG,
Heni