Wie kann ich das herausfinden?
Hier ist eine Funktion gegeben und ich muss wissen, an welcher Stelle f(x) = 0 ist. Als Antwortmöglichkeit sind -1,0,1 & 2 gegeben. -1 sollte die richtige Antwort sein.
Ich habe mir gedacht, ich setze den Zähler gleich null und komme so auf x aber das funktioniert nicht, da sich die Potenzen unterscheiden.
Hier nochmal der Zähler:
f(x) = x^3-3x^2+4x+8
Danke im Voraus.
2 Antworten
Dein Plan den Zähler gleich null zu setzen ist richtig. Aber wie du schon sagtest durch die vielen verschiedenen Exponenten kann man nicht einfach pq-Formel / Mitternachtsformel / x ausklammern oder ähnliche "Tricks" anwenden.
Die offizielle Antwort aus der Schule ist: du musst die erste Nullstelle raten. Dafür setzt du in beliebiger Reihenfolge die möglichen Ergebnisse (in der Schule eigentlich immer x=-2, x=-1, x=0, x=1 oder x=2, hier ja sogar angegeben) ein und schaust ob das Ergebnis 0 ist.
Zum Beispiel: f(0) = 0^3-3*0^2+4*0+8 = 8 ist nicht 0 also ist 0 nicht die richtige Lösung, also probiert man weiter.
f(-1) = (-1)^3-3*(-1)^2+4*(-1)+8=-1-3-4+8=0 ist eine Nullstelle.
Wenn man dann weitere Nullstellen wissen will rechnet man:
F(x)/(x-Nullstelle), also mit schriftlich dividieren
(x^3-3x^2+4x+8)/(x-(-1))=
(x^3-3x^2+4x+8)/(x+1)=x^2-4x+8
-(x^3+x^2)
-(-4x^2-4x)
-(8x+8)
Das nennt sich übrigends Linearfaktorzerlegung.
(x^2-4x+8)*(x+1)=x^3-3x^2+4x+8
Von "x^2-4x+8" kann man nun theoretisch die weiteren Nullstellen bestimmen. Praktisch kommen da komplexe Zahlen raus, also lassen wir es.
Wenn du dir jetzt denkst erste Nullstelle raten ist doof muss doch anders gehen, naja es geht schon: es gibt Näherungsverfahren wie regular falsi oder Newton Verfahren. Dort fängt man auch mit geratenen Werten an, aber die Ergebnisse nutzt man dann um die nächsten Werte mit denen man weiter rät zu bestimmen. So nähert man sich immer weiter an. Super für Computer, im Kopf oder mit einem einfachem Taschenrechner ist das ein sinnloser Zeitvertreib. Wenn der Taschenrechner eine ANS Taste hat geht's schon besser, aber wie vielleicht schon erwähnt in der Schule ist das NICHT gefordert.
Was ist wenn der Nenner für die Nullstelle -1 im Zähler auch Null wird? Nehmen wir an der Nenner wäre: x^2+3x+2. Macht man in dem Fall Linearfaktorzerlegung mit dem Nenner, also x^2+3x+2 = (x+1)*(x+2) , dann kann man f(x) umschreiben zu ((x^2-4x+8)*(x-(-1)))/((x+2)*(x-(-1))). Also (x-(-1)) würde sich wegkürzen, trägt also nichts zum Verlauf der Funktion bei. Ergo diese Nullstelle würde somit doch nicht existieren. Dafür hätte man eine einfachere Schreibweise zum Nullstellen bestimmen von f(x) gefunden, denn f(x) wäre dann vereinfacht (x^2-4x+8)/(x+2) und damit würde man dann weiter rechnen.
Ein bruch ist null, wenn der nenner 0 ist, zu mindest wenn der Zähler ungeich null ist. Im zweifel einfach alle möglichkeiten einsetzen und ausrechnen
Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler gleich Null und der Nenner ungleich 0 ist