Wie bestimme ich diese Partialsumme?

Wie kommt man hier auf die Lösung? Ich verstehe nicht ganz was das "N>2" für eine Rolle spielt.

Answer 1

[mihisu]

Warum da N > 2 gefordert wird, erschließt sich mir auch nicht. Das gilt für alle natürliche Zahlen N. [Probiere doch einfach mal N = 0 bzw. N = 1 bzw. N = 2 einzusetzen, und du wirst merken, dass das auch für diese Werte passt.]

Es handelt sich um eine Teleskopsumme...

$\sum\limits_{n=1}^{N}\left(a_n-a_{n+1}\right)=a_1-a_{N+1}$

Im konkreten Fall ist hier a[n] = (1 + 1/n)^n.

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Noch etwas allgemeiner gilt übrigens für alle ganzen Zahlen p, q mit p ≤ q + 1 ...

$\sum\limits_{n=p}^{q}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=a_{p}-a_{q+1}$

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Es kann höchstens sein, dass N > 2 angegeben ist, damit ihr den Beweis leichter aufschreiben könnt. Denn wenn man das mit „Pünktchenschreibweise“ aufschreibt...

$\sum\limits_{n=1}^{N}\left(a_n-a_{n+1}\right)=a_1\underbrace{-a_{2}+a_{2}}_{=0}\underbrace{-a_{3}+\ldots+a_{N}}_{=0}-a_{N+1}=a_{1}-a_{N+1}$

... kommt man leicht in die Verlegenheit, dass man da eine gewisse Mindestanzahl an Gliedern braucht, um das übersichtlich aufzuschreiben. Denn der Teil „- a[2] + a[2]“ erscheint ja beispielsweise erst, wenn man N ≥ 2 hat. Für N = 1 würde dieser Teil gar nicht in Erscheinung treten.

Answer 2

[eterneladam]

Das ist eine Teleskopsumme. Der zweite Term in der Klammer (für n) hebt sich weg mit dem ersten Term in der Klammer für n+1. Für dieses Spiel braucht es mindestens n=1 und n=2, daher würde aus meiner Sicht auch N >= 2 reichen.